Álgebra I - Departamento de Matemática

38 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Domínios
Integrais
Anéis
Corpos
Anéis
de
Divisão
Figura 1.5.1: Domínios integrais, anéis de divisão e corpos.
Se (A, +, ·) é um anel, e B ⊂ A, é possível que B seja fechado em relação
às operações de soma e produto de A, i.e., é possível que
a, b ∈ B ⇒ a + b ∈ B e a · b ∈ B.
Neste caso, é possível que (B, +, ·) seja por sua vez um anel.
Definição 1.5.11. Seja B ⊂ A um subconjunto fechado em relação à soma
e ao produto do anel (A, +, ·). B diz-se um subanel de A se (B, +, ·) é um
anel. Dizemos também que o anel A é uma extensão do anel B.
Exemplos 1.5.12.
1. Z é um subanel de Q, e o anel dos inteiros pares é um subanel de Z.
2. O conjunto N dos números naturais (inteiros positivos) é fechado em relação
à soma e produto de Z, mas não é um subanel de Z.
3. C é uma extensão de R.
4. O anel Mn(C) é uma extensão de Mn(Z).
De acordo com o resultado provado para grupos na secção anterior, se
B ⊂ A e B não é vazio, então (B, +) é subgrupo de (A, +) (i.e., verifica (i)
na Definição 1.5.1) se e só se é fechado em relação à diferença. Se B é fechado
em relação à soma e produto de A, é evidente que verifica as propriedades
(ii) e (iii) da Definição 1.5.1, simplesmente porque as suas operações são as
do anel A. Concluímos imediatamente que:
Proposição 1.5.13. Seja A um anel. Um subconjunto B é um subanel de
A se e só se não é vazio, e é fechado em relação à diferença e ao produto.
Se A e B são anéis, é claro que podemos formar a soma directa dos
respectivos grupos aditivos. Mas é evidente que podemos definir de forma