Álgebra I - Departamento de Matemática

40 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
7. Suponha que A, B e C são anéis. Prove as seguintes afirmações:
(a) O conjunto A × B com as operações definidas em 1.5.1 é um anel.
(b) Se A e B têem mais de um elemento, então A ⊕ B tem divisores de zero.
(c) Se A e B são unitários então A ⊕ B é unitário, e (A ⊕ B) ∗ = A ∗ × B ∗ .
(d) A ⊕ B é isomorfo a B ⊕ A, e A ⊕ (B ⊕ C) é isomorfo a (A ⊕ B) ⊕ C.
(e) φ : A → B⊕C é um homomorfismo de anéis se e só se φ(x) = (φ1(x), φ2(x)),
onde φ1 : A → B e φ2 : A → C são homomorfismos de anéis.
8. Sendo X um conjunto e A um anel, mostre que a classe de funções f : X → A
é um anel com as operações “usuais” de soma e produto de funções.
9. Use o exercício anterior com X = {0, 1} e A = Z2 para obter um exemplo de
um anel com 4 elementos. Mostre que esse anel é isomorfo a Z2 ⊕ Z2.
10. Seja A = {0, 1, 2, 3} um conjunto com quatro elementos. Mostre que existe
um corpo com suporte em A, sendo 0 o zero de A, e 1 a sua identidade.
11. Seja A um anel. Mostre que o conjunto das matrizes n × n com entradas
em A, que se designa por Mn(A), é um anel. Mostre ainda que, se A tem
identidade, então Mn(A) tem identidade.
12. Seja B um subanel de A. Mostre que os seguintes casos são todos possíveis:
(a) A tem identidade e B não tem identidade.
(b) A não tem identidade e B tem identidade.
(c) A e B têm identidades distintas.
(Sugestão: recorra a subanéis apropriados de anéis de matrizes 2 × 2).
13. Dê um exemplo dum anel finito não-abeliano.
14. Mostre que qualquer subanel dum anel de divisão verifica a lei do corte
para o produto, e em particular que qualquer subanel dum corpo contendo a
identidade desse corpo é um domínio integral, mas não necessariamente um
corpo.
15. Prove que a lei do corte para o produto é válida no anel A se e só se não
existem em A divisores de zero.
16. Seja A um domínio integral. Diga se se tem necessariamente:
(a) x 2 = 1 implica x = 1 ou x = −1;
(b) −1 = 1.
17. Suponha que o anel A é uma extensão do corpo K, e que K contém a
identidade de A. Prove que A é um espaço vectorial sobre K.
18. Determine os elementos invertíveis no anel Z[i] dos inteiros de Gauss.