Álgebra I - Departamento de Matemática

28 Capítulo 1. Noções Básicas da Álgebra
Definição 1.4.7. Se H ⊂ G é subgrupo, dizemos que H é um subgrupo
normal de G se e só se, para qualquer h ∈ H e g ∈ G, temos ghg −1 ∈ H.
Exemplos 1.4.8.
1. Se G é um grupo abeliano, é claro que ghg −1 = hgg −1 = h ∈ H, ou seja,
todos os subgrupos de um grupo abeliano são normais.
2. Se G = S3 e H={I, α}, então H é subgrupo de G. H não é normal, pois
εαε −1 = γ ∈ H.
3. Supondo ainda G = S3, tomamos H = A3 = {I, δ, ε}, e recordamos que
o grupo alternado A3 é formado pelas permutações pares de S3. Se π ∈ A3
e σ ∈ S3, é claro que σπσ −1 é uma permutação par (porquê?), e portanto
σπσ −1 ∈ A3, logo, A3 é um subgrupo normal de S3.
4. Se G e H são grupos e formarmos o produto directo G × H, então G e H
(identificados com, respectivamente, G×{e} e {e}×H) são subgrupos normais
de G × H.
Podemos agora demonstrar:
Teorema 1.4.9. Se φ : G → H é um homomorfismo e N(φ) é o respectivo
núcleo, então N(φ) é um subgrupo normal de G.
Demonstração. Sendo n ∈ N(φ) e g ∈ G, temos a provar que gng −1 ∈ N(φ),
ou seja, φ(gng −1 ) = e, onde e é a identidade do grupo H. Notamos apenas
que:
φ(gng −1 ) = φ(g)φ(n)φ(g −1 ) (definição de homomorfismo),
= φ(g)φ(g −1 ) (porque φ(n) = e, já que n ∈ N(φ)),
= e.
Tal como na Álgebra Linear, o número de soluções da equação não-homogénea
φ(x) = y, i.e., a questão da possível injectividade de φ, depende
apenas do núcleo N(φ). A este respeito, é fácil provar o seguinte:
Teorema 1.4.10. Seja φ : G → H um homomorfismo. Temos então:
(i) φ(g1) = φ(g2) se e só se g1g −1
2
∈ N(φ);
(ii) φ é injectivo se e só se N(φ) = {e};
(iii) se x0 é uma solução particular de φ(x) = y0, a solução geral é x = x0n,
com n ∈ N(φ).