Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 1. ESTADOS, MAPAS E CONES 10
que é a definição de mapa completamente copositivo. Também podemos
transpor após aplicar o mapa:
0 ≤
(
) T (
)
1 ⊗ Λ CP (ρ) = T ⊗ T 1 ⊗ Λ CP (ρ) = T ⊗ T ◦ Λ CP (ρ)
Esta definição de mapa completamente copositivo implora pela transposição
parcial. Na verdade, essa operação já foi definida implicitamente, mas é
útil explicitá-la e estabelecer a notação.
Definição 1.9. Seja Q ∈ M A m ⊗ M B n um operador bipartite. Se escrevemos
Q = ∑
ijkl
q ij |i〉〈j| ⊗ |k〉〈l|
kl
a transposição parcial em relação à parte A e em relação à base |i〉〈j| é dada por
Q T A := T ⊗ 1(Q) = ∑
ijkl
q ij
kl
T(|i〉〈j|) ⊗ |k〉〈l| = ∑
ijkl
q ij |j〉〈i| ⊗ |k〉〈l|
kl
Para ajudar a visualização, faremos a transposição parcial numa matriz
arbitrária. Escrevemos Q como uma matriz por blocos:
⎛
⎞
B 11 B 12 · · · B 1m
B 21 B 22
Q = ⎜
⎝
.
. ..
⎟
⎠
B mm
B m1
lembrando que cada bloco B ij tem dimensão n. Sua transposição parcial fica
⎛
⎞
B 11 B 21 · · · B m1
Q T A B 12 B 22
= ⎜
⎝
.
. ..
⎟
⎠
B mm
B 1m
É fácil de perceber que não existe nada de especial com a parte em relação
à qual a transposição está sendo feita. De fato
Q T B
= 1 ⊗ T(Q) = T ⊗ T(T ⊗ 1(Q)) =
( ) T
Q T A
O leitor também não deve levar muito a sério o nome transposição para
este mapa; a razão fica clara se tentarmos estender essa operação para agir
em vetores também:
T(|α〉〈α|) = |α ∗ 〉〈α ∗ | → T|α〉 := |α ∗ 〉
o que deixa claro que o que está ocorrendo de fundamental é a conjugação
complexa, e não a transposição. Esse ponto de vista permite a interpretação