Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 2. TEOREMA DE WORONOWICZ 20
Se aplicarmos Q ao vetor |0〉|β〉, nosso problema está resolvido:
( )( ) ( )
γ|β〉〈β| λ|β〉〈β| |β〉 γ|β〉
Q|0〉|β〉 =
λ ∗ =
|β〉〈β| C 0 λ ∗ =
|β〉
(
Q T A γ|β〉〈β| λ
|0〉|β〉 =
∗ )( ) ( )
|β〉〈β| |β〉 γ|β〉
= =
λ|β〉〈β| C 0 λ|β〉
( γ
λ ∗ )
⊗ |β〉 := |α〉|β〉
( γ
λ)
⊗ |β〉 = |α ∗ 〉|β〉
Note que esta prova é falsa se γ = λ = 0, mas este caso é trivial.
2.3.2 Mudança de base
Agora podemos fazer uma mudança de base no espaço de Bob:
( )
Q ′ = 1 ⊗ A −1/2 Q 1 ⊗ A −1/2 1 B
′
=
B ′∗ C ′
Onde
B ′ := A −1/2 BA −1/2 e C ′ := A −1/2 CA −1/2
Como C ′ mantém as propriedades de C de ser positivo e inversível, e B
continua auto-adjunto, vou ignorar os ′ para não carregar a notação.
Veja que podemos trabalhar somente com Q ′ , pois se |α〉|β ′ 〉 ∈ Im Q ′ tal
que |α ∗ 〉|β ′ 〉 ∈ Im Q ′T A segue que
|α〉|β〉 = 1 ⊗ A 1/2 |α〉 ∣ ∣ β
′ 〉
é um vetor produto na imagem de Q com as propriedades desejadas.
2.3.3 B normal
Se B é um operador normal, ∃|β〉; B|β〉 = t|β〉 e B ∗ |β〉 = t ∗ |β〉, e assim nosso
problema está resolvido:
( )
Q ′ |β〉
|0〉|β〉 =
t ∗ |β〉
( )
Q ′T A |β〉
|0〉|β〉 =
t|β〉
2.3.4 Condição algébrica
Vamos agora encarar o caso não-trivial. Aplicamos Q ′ ao seguinte ansatz:
( )( ) (
)
1 B |β〉 + B|y〉
|β〉
B ∗
=
C −|y〉 B ∗ |β〉 − (C − B ∗ B)|y〉
Para que o vetor resultante seja um vetor produto é necessário e suficiente que
B ∗ |β〉 − (C − B ∗ B)|y〉 = t|β〉
para algum t ∈ C. Um ansatz análogo serve para Q ′T A:
( )( 1 B
∗ |β〉 + B ∗ ) (
)
|y〉
|β〉
=
B C −|y〉 B ∗ |β〉 − (C − BB ∗ )|y〉