Monografia: Fundamentos MatemÃ¡ticos da Separabilidade - UFMG

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CAPÍTULO 3. TESTEMUNHAS DE EMARANHAMENTO 28 3.2 Comparação Com a existência das testemunhas bem estabelecida, podemos começar a explorar suas propriedades. Ora, temos duas ferramentas similares de detecção de emaranhamento: as testemunhas e os mapas positivos; é natural, então fazer essa exploração por contraste. Primeiramente, note que nem a definição 3.1 nem nenhuma das provas do teorema 3.2 fizeram referência às partições do espaço de estados; então podemos concluir que as testemunhas são capazes de detectar emaranhamento multipartite. Isso também é verdade para os mapas positivos, mas o teste e a demonstração são mais delicados [24]. Outra coisa que nos vem à mente é: sabemos que o mapa transposição é capaz de detectar todos os estados emaranhados ρ ∈ M A 2 ⊗ MB 2 . O mesmo pode ser verdade para alguma testemunha A resposta é não. Teorema 3.6. Nenhuma testemunha de emaranhamento é capaz de detectar todos os estados emaranhados de uma dada dimensão. Demonstração. Na secção 1.1 descobrimos que o conjunto dos estados emaranhados E não é convexo. Logo, existem ρ, ϱ ∈ E tais que λρ + (1 − λ)ϱ ̸∈ E para algum λ ∈ [0, 1]. Suponha que exista uma testemunha W capaz de detectar esses dois estados. Então tr(Wρ) < 0 e tr(Wϱ) < 0 e absurdo. tr(W(λρ + (1 − λ)ϱ)) = λ tr(Wρ) + (1 − λ) tr(Wϱ) < 0 Neste sentido os mapas são muito mais poderosos que as testemunhas. Sabemos da limitação dos mapas decomponíveis em relação ao emaranhamento preso. Será que existe uma limitação análoga para as testemunhas Teorema 3.7. Uma testemunha é da forma W = P + Q T B onde P, Q ≥ 0 sse seu mapa correspondente é decomponível. Testemunhas desta forma são chamadas decomponíveis. Demonstração. Usando a equação (3.1), W = 1 ⊗ Λ P (|φ + 〉〈φ + |) ( ) = 1 ⊗ Λ1 CP (|φ +〉〈φ + |) + 1 ⊗ T 1 ⊗ Λ2 CP (|φ +〉〈φ + |) = P + 1 ⊗ T(Q) = P + Q T B
CAPÍTULO 3. TESTEMUNHAS DE EMARANHAMENTO 29 Disso segue diretamente que uma testemunha é não-decomponível sse seu mapa correspondente é não-decomponível. Teorema 3.8. Testemunhas decomponíveis não são capazes de detectar estados com emaranhamento preso. Demonstração. tr(Wρ) = tr(Pρ) + tr(Q T B ρ) ≥ tr(Q T B ρ) = 〈1 ⊗ T(Q), ρ〉 = 〈Q, 1 ⊗ T(ρ)〉 = tr(Qρ T B) ≥ 0 onde usamos a equação (2.3) no penúltimo passo. Vemos que as testemunhas e os mapas estão intimamente ligados; a existência de uma testemunha que detecta um dado estado pode ser utilizada para descobrir mapa positivo que também o detecta, e vice-versa. Portanto, não podemos pesquisar um esperando um milagre que não ocorreria na pesquisa do outro. Em particular, como o problema da separabilidade é NP-HARD a descoberta de um algoritmo eficiente para resolvê-lo, seja através de mapas ou de testemunhas, seria equivalente a uma prova que P = NP. Não obstante, as testemunhas são muito mais flexíveis na prática; ao contrário dos mapas positivos, conhecemos algoritmos probabilísticos para encontrá-las no caso mais geral [1, 25]. Além disso, elas permitem um conhecimento mais detalhado da estrutura do espaço de estados, pois podem ser utilizadas para implementar uma grande família de quantificadores de emaranhamento [26], que inclui vários dos mais conhecidos.
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