Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 35
pontos; mas a estrutura convexa se mantém: a combinação convexa de dois
pontos puros cai necessariamente no interior do simplexo de autovalores, e o
seu centro é a identidade normalizada. Não há o que falar sobre a insfera e a
circunsfera, pois ambas coincidem com a fronteira do espaço de estados.
Figura 4.2: Simplexo dos autovalores para M (3) (em cinza), incluindo insfera
e circunsfera.
Na figura 4.2 você encontra o simplexo dos autovalores para M (3) , que
já possui uma estrutura mais rica. Primeiro note a estrutura convexa: a
combinação de três pontos puros fica no interior do simplexo, enquanto as
combinações de apenas dois pontos puros formam os lados do triângulo. Mas
o conjunto das combinações convexas de dois pontos puros é a estrutura que
acabamos de descrever para M (2) ! Isso é verdade num sentido mais amplo:
qualquer subespaço vetorial de M (3) formado pelas combinações convexas
de dois pontos puros ortogonais é de fato uma cópia de M (2) , mesmo se
considerarmos toda a estrutura de ambos os espaços.
Também podemos ver a estrutura descrita no final do capítulo anterior:
se estamos num estado puro, e refletimos o vetor em torno da identidade,
estamos no ponto da circunsfera o mais longe possível de M (3) .
O simplexo de autovalores para M (4) segue a mesma lógica, conforme
visto na figura 4.3: ele é um 3-simplexo com uma bola maximal em seu interior.
Seus vértices são estados puros, suas arestas são cópias de M (2) e suas faces
cópias de M (3) .
Essa estrutura recursiva ocorre em todas dimensões: as (n − 2)-faces de
M (n) são cópias de M (n−1) , e o mesmo é verdade para M (n) , embora agora
estejamos falando de subespaços vetoriais e não de faces.