Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 1. ESTADOS, MAPAS E CONES 8
Analogamente, a definição 1.3 implica que o espaço de estados separáveis S
é convexo e fechado, e um subconjunto fechado de um compacto é compacto.
Em vista desses resultados, é útil reescrever a definição do conjunto de
estados emaranhados: E := D \ S; e a diferença de dois conjuntos convexos
em geral não é convexa 8 . Este é um dos motivos pelos quais sua caracterização
é bem mais complexa que nos casos anteriores.
1.2 Mapas positivos
Mapas positivos foram estudados muito tempo atrás e muito recentemente,
por conta de suas aplicações à teoria quântica e ao problema da separabilidade,
respectivamente. Em particular, a evolução mais geral 9 que um estado quântico
pode sofrer é um mapa completamente positivo, e portanto este conjunto
é identificado com as operações que podem ser implementadas fisicamente.
Para sermos mais claros, precisamos de algumas definições.
Definição 1.4. Um mapa positivo Λ P : M m → M n é um mapa linear entre
álgebras de operadores tal que ρ ≥ 0 ⇒ Λ P (ρ) ≥ 0
À primeira vista, esta parece ser uma condição suficiente para que o mapa
seja físico, afinal seu domínio e contradomínio são estados quânticos válidos.
Mas problemas aparecem quando se considera extensões triviais de mapas
positivos. Podemos definir esta extensão num estado produto:
(
Λ ⊗ 1 ρ A ⊗ ρ B) (
:= Λ ρ A) ⊗ ρ B
e estender esta definição para qualquer estado por linearidade.
Teorema 1.5. Se Λ P : M m → M n é um mapa positivo e ρ ∈ M m ⊗ M r um
operador positivo, então Λ P ⊗ 1(ρ) ∈ M nr é um operador auto-adjunto.
Demonstração. Se ρ é positivo, ele é em particular auto-adjunto, e podemos
representá-lo com coeficientes reais numa base auto-adjunta 10 :
Então
ρ = ∑ p ij σ i ⊗ σ j
ij
Λ P ⊗ 1(ρ) = ∑ p ij Λ P (σ i ) ⊗ σ j
=
ij
(
) ∗
∑ p ij Λ P (σ i ) ⊗ σ j
ij
8 Imagine D como um ovo, e S como sua gema.
9 Ignorando-se sistemas de partículas indistinguíveis, cuja representação é mais delicada.
10 Detalharemos essa representação na secção 4.2.