Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 2. TEOREMA DE WORONOWICZ 18
2.2 Preparação
De posse dos cones duais CP ∗ (2.2), CcP ∗ (2.4) e P ∗ (2.5), agora podemos
transformar o lema 2.2 em uma afirmação mais concreta que saberemos
demonstrar. Farei isso através do
Lema 2.5. As seguintes afirmações são equivalentes:
I P ∗ = CP ∗ ∩ CcP ∗
II Para todo Q ∈ Mm A ⊗ Mn B tal que Q ≥ 0, Q T A ≥ 0 existe um vetor produto
|α〉|β〉 ∈ C m ⊗ C n tal que |α〉|β〉 ∈ Im Q e |α ∗ 〉|β〉 ∈ Im Q T A.
Demonstração.
I ⇒ II Se Q ∈ P ∗ ,
Portanto, para cada n,
Q = ∑ p n |α n 〉〈α n | ⊗ |β n 〉〈β n |
Q T A
= ∑ p n |α ∗ n〉〈α ∗ n| ⊗ |α n 〉〈β n |
|α n 〉|β n 〉 ∈ Im Q
|α ∗ n〉|β n 〉 ∈ Im Q T A
II ⇒ I Se |α〉|β〉 ∈ Im Q e |α ∗ 〉|β〉 ∈ Im Q T A é verdade que existe um ε > 0
tal que Q − ε|α〉〈α| ⊗ |β〉〈β| é um operador positivo, e sua transposta
parcial Q T A − ε|α ∗ 〉〈α ∗ | ⊗ |β〉〈β| também; assim pertence a CP ∗ ∩ CcP ∗ .
Pois para satisfazer a condição de positividade
0 ≤ 〈φ|Q − ε|α〉〈α| ⊗ |β〉〈β||φ〉 = 〈φ|Q|φ〉 − ε|〈φ|αβ〉| 2
e a análoga para a Q T A
é suficiente tomar
ε ≤ min
λ φ
|〈φ|αβ〉| 2
onde a minimização é feita nos autovetores da imagem de ambos os
operadores. Agora podemos exigir que Q seja um raio extremo de
CP ∗ ∩ CcP ∗ . Mas acabamos de escrever uma decomposição dele. Para
não entrar em contradição, é necessário que
Q = λ|α〉〈α| ⊗ |β〉〈β|
um elemento de P ∗ . Como um cone é simplesmente a combinação
cônica de seus raios extremos, CP ∗ ∩ CcP ∗ ⊂ P ∗ . Como trivialmente
P ∗ ⊂ CP ∗ ∩ CcP ∗ , o lema segue.