Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 32
Para tal, precisamos generalizar de alguma forma a construção feita para
o qubit. Essa generalização não é simples nem única; podendo variar muito
de acordo com a aplicação desejada. Uma discussão do assunto, bem como
apresentação de resultados recentes na área, pode ser encontrada na ref. [28].
Mostrarei aqui a forma que considero mais simples matematicamente,
seguindo as linhas de [29, 30]: se exigirmos que nossa base continue autoadjunta,
ortogonal e de traço nulo, conseguimos generalizar de forma canônica
as matrizes de Pauli, utilizando os geradores de su(n); são as chamadas
matrizes de Gell-Mann. Só resta a decisão um tanto quanto espinhosa da
normalização. Para o nosso caso o mais conveniente é continuar usando uma
base ortonormal 3 , o que é uma escolha relativamente rara na literatura.
Dito isso, vamos repetir a equação (4.1) para o caso geral:
ρ = 1 1 + 〈r, σ〉 (4.2)
n
Nada muito impressionante. Mas ao tentarmos repetir os passos anteriores
e determinar as condições para que o lado direito represente sempre um
estado válido, vemos que essa tarefa é altamente não-trivial [29]; de qualquer
forma, o resultado é complexo demais para apelar à nossa intuição. O ponto
interessante que podemos tirar dele é que para n ≥ 3 o espaço de estados
deixa de ser uma bola; em particular, se r corresponde a um estado puro,
então certamente −r está fora do espaço de estados.
4.2.1 Insfera e circunsfera
Para demonstrar isso precisamos primeiro estabelecer alguns fatos sobre a
geometria do espaço de estados de dimensão n. Primeiramente, como se trata
de um conjunto convexo compacto, podemos sempre definir uma insfera e
uma circunsfera. Para encontrar o raio da circunsfera, posso simplesmente
encontrar os estados puros, pois por definição eles têm de estar na fronteira
de M (n) . Como eles são projetores segue direto da definição que ρ é puro
sse ρ 2 = ρ. Para simplificar as contas, trabalharemos apenas com a condição
necessária tr(ρ 2 ) = tr(ρ) = 1. Utilizando a forma (4.2), e as propriedades
tr(σ i ) = 0 e tr(σ i σ j ) = δ ij , obtemos:
1 = tr(ρ 2 )
( 1
= tr
n 2 1 + 2 )
n 〈r, σ〉 + 〈r, σ〉2
= 1 n + |r|2
⇒ |r max | =
√
n − 1
e portanto os estados puros estão restritos à circunsfera (n 2 − 2)-dimensional
de M (n) . Além disso, isso mostra que a identidade normalizada é o circuncentro
de M (n) .
3 Se quiséssemos escrever explicitamente o vetor de Bloch na base produto tensorial de
um sistema bipartite, conhecido como forma de Fano [31], o mais conveniente seria escolher
tr ( σ i σ j
) =
1
n δ ij .
n