Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

Resumo
Estados emaranhados são a chave da revolução que está acontecendo nos fundamentos
da mecânica quântica: a descoberta da não-localidade como traço
essencial do mundo quântico, através das desigualdades de Bell, o advento da
computação quântica, com o famoso algoritmo de Shor, e a distribuição quântica
de chaves criptográficas, com sua promessa de possibilitar comunicação
perfeitamente segura.
Porém, emaranhamento é uma característica bastante complicada matematicamente,
e ainda não sabemos caracterizá-lo completamente. Para tal,
precisamos desenvolver critérios que decidem se um estado quântico é ou não
emaranhado. Este trabalho faz uma revisão dos conceitos matemáticos fundamentais
por trás do famoso critério da transposição parcial positiva: o teorema
da hiperplano separador, o isomorfismo de Jamiołkowski e a decomponibilidade
dos mapas positivos. A conexão entre esses conceitos aparentemente
díspares é o teorema de Woronowicz: todo mapa positivo de dimensão baixa 1
pode ser escrito como uma soma de mapas completamente positivos e completamente
copositivos. O principal foco deste trabalho é a sua demonstração,
apresentada numa linguagem moderna e com notação adequada para a física.
O trabalho se encerra com uma exploração geométrica do espaço de
estados, a partir do produto interno de Hilbert-Schmidt. Analisamos as
propriedades básicas de simetria e a representação do simplexo de autovalores,
culminando com uma representação do espaço de estados emaranhados e o
cálculo numérico dos volumes relevantes para várias dimensões.
1 Realmente baixa.
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