Monografia: Fundamentos MatemÃ¡ticos da Separabilidade - UFMG

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Capítulo 2 Teorema de Woronowicz “Good mathematicians see analogies. Great mathematicians see analogies between analogies.” Stefan Banach O objetivo principal deste capítulo é demonstrar o seguinte teorema: Teorema 2.1. (Woronowicz) Todo mapa positivo Λ : M m → M n pode ser escrito como Λ = Λ CP 1 + Λ CP 2 ◦ T (2.1) onde Λ CP i são completamente positivos e T é o mapa transposição, sse mn ≤ 6 Ele foi demonstrado pela primeira vez por S.L. Woronowicz em 1976 [12], muito antes dele ter qualquer relevância para o problema da separabilidade, que nem era popular na época. Sua demonstração original está numa linguagem obscura que não permite muitas interpretações; mas se a modernizamos um pouco conseguimos ver várias idéias e teoremas que influenciaram muito a informação quântica. É este o meu objetivo ao escrever esta monografia: clarificar os fundamentos matemáticos por trás das ferramentas que utilizamos no dia-a-dia e mostrar suas interconexões fundamentais, o que sempre é um campo fértil para novas idéias. 2.1 Dualidades É interessante e necessário, para prosseguir a demonstração, enunciar o teorema em sua forma dual: Lema 2.2. (Woronowicz — dual) O teorema 2.1 é equivalente à afirmação P ∗ = CP ∗ ∩ CcP ∗ Demonstração. Pelo teorema 1.8 a equação (2.1) é equivalente a Λ = θ 1 Λ1 CP + θ 2 Λ2 CcP 14
CAPÍTULO 2. TEOREMA DE WORONOWICZ 15 onde também estou utilizando o fato de que CP e CcP são cones convexos, e θ i ∈ R + . Ora, isso é simplesmente uma combinação cônica, e portanto Passando para o espaço dual P = conv(CP ∪ CcP) P ∗ = CP ∗ ∩ CcP ∗ Precisamos agora detalhar quem são os cones duais P ∗ , CP ∗ , CcP ∗ . Para isso, definirei um isomorfismo 1 entre os mapas Λ : M m → M n e os operadores D Λ ∈ M mn , através da fórmula onde D Λ := I ⊗ Λ(|φ + 〉〈φ + |) = |φ + 〉〈φ + | := m−1 ∑ i,j=0 |ii〉〈jj| = m−1 ∑ i,j=0 m−1 ∑ i,j=0 |i〉〈j| ⊗ Λ(|i〉〈j|) |i〉〈j| ⊗ |i〉〈j| é apenas uma base na qual é fácil trabalhar. Por exemplo, se m = 2, o operador D Λ fica desta forma: ⎛ ( ) ( ) ⎞ 1 0 0 1 Λ Λ D Λ = ⎜ 0 0 0 0 ( ) ( ) ⎟ ⎝ 0 0 0 0 ⎠ Λ Λ 1 0 0 1 Como |i〉〈j| forma uma base para M m , é evidente que D Λ determina completamente o mapa e vice-versa. Além disso, vamos nos restringir a apenas mapas positivos, de forma que o teorema 1.5 nos garante que D Λ será sempre auto-adjunto. Assim podemos nos restringir a um espaço de Hilbert real, e utilizar a definição 1.16 para construir o espaço dual 2 . Para os mapas completamente positivos, ela fica { } CP ∗ = Q ∈ M mn : 〈Q, D Λ CP〉 ≥ 0 ∀Λ CP ∈ CP ou seja, queremos os Q tais que 〈〉 Q, I ⊗ Λ CP (|φ + 〉〈φ + |) ≥ 0 Como Λ CP é completamente positivo, o lado direito do produto interno também o é, e Q ≥ 0 implica que o produto interno é positivo. Para a parte somente se, suponha que Q tem um autovalor negativo. O produto interno tem de ser positivo para todo Λ CP ; em particular para o mapa com 1 Este é o famoso isomorfismo de Choi-Jamiołkowski. 2 Que vamos representar sem pejo no mesmo espaço.
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