Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 39
de todos os estados que pertencem à insfera: especificamente, ele diz que se
|r| ≤
1
√
n(n − 1)
um estado é separável. Além disso, esse também é o critério mais forte
possível que depende somente do módulo do vetor de Bloch, existindo estados
emaranhados a uma distância ε da superfície da insfera.
4.4 Volume do espaço de estados
Nada mais natural que fechar um capítulo sobre geometria com algumas
considerações sobre o (hiper)volume do espaço de estados 10 . Embora o
volume de M (n) possa ser calculado 11 , não faremos isso; este número não
tem muito significado, e vamos defini-lo como sendo 1.
Estamos interessados no volume relativo dos espaços de estados emaranhados
e separáveis. Esse número sim pode nos revelar várias coisas sobre
a geometria do espaço de estados, ou mesmo sobre a física da mecânica
quântica. Sabemos, por exemplo, que se nos restringirmos a estados puros, o
conjunto dos estados separáveis tem medida nula 12 .
Podemos estender essa afirmação para todo o espaço de estados Lembrese
da discussão no final da secção anterior. Como temos uma bola separável de
raio finito em todas as dimensões, isso já é suficiente para dizer que qualquer
medida sensata vai retornar um valor não-nulo para o conjunto dos separáveis.
Para a mesma afirmação em relação aos emaranhados, basta notar que eles
são um conjunto aberto, pois eles são o complementar dos separáveis, que é
fechado. Idem para o conjunto dos estados PPT-emaranhados: se considerarmos
nosso espaço como o conjunto dos estados PPT, ele é o complementar do
conjunto dos estados separáveis, e portanto um conjunto aberto.
Poderíamos avançar um pouco mais e utilizar essas propriedades para
tirar analiticamente cotas inferiores e superiores para o volume do espaço
de estados separáveis. Mas como essas cotas são muito ruins e o cálculo
desinteressante, vamos passar duma vez para o cálculo do volume em si.
Como fazê-lo Não dispomos de uma parametrização da fronteira do
espaço de estados separáveis. Só nos resta fazer o cálculo numérico, definindo
uma medida e gerando estados aleatoriamente. Como definimos o volume
total do espaço de estados como sendo 1, o volume do espaço dos estados
separáveis será simplesmente a probabilidade do estado gerado ser separável,
e o mesmo para o volume do espaço dos estados emaranhados.
Lembrando da idéia do simplexo dos autovalores, fica claro que um
estado é completamente determinado pela escolha de uma matriz unitária
e de um simplexo. Mais precisamente, podemos escrever uma função
f : ∆ n−1 × U n → M (n) , onde ∆ n−1 é o (n − 1)-simplexo, U n é o conjunto das
10 Esta secção é baseada nos resultados de [36, 37].
11 Isso é feito em [38], usando a medida de Hilbert-Schmidt, e em [39], usando a medida de
Bures.
12 Isso pode ser provado facilmente usando o mergulho de Segre [6].