Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 38
para qualquer dimensão é verdade que ρ T A ≥ 0 ⇔ ρ ∈ M (n) ∩ T A
( M
(n) ) .
Como estamos em M (4) isso é suficiente para afirmar que ρ é separável.
Portanto, os estados separáveis que podem ser escritos como combinação
convexa de estados de Bell são exatamente a intersecção entre esses dois
3-simplexos, conforme vemos na figura 4.4.
Figura 4.4: Stella octangula. Em vermelho, o 3-simplexo da base de Bell. Em
verde, o espaço de suas transpostas parciais. Em azul, sua intersecção: o
octaedro dos estados separáveis desta base.
A geometria resultante é bem interessante: podemos ver claramente que
o espaço dos estados emaranhados não é convexo, e está restrito a regiões
próximas aos estados puros. Mas não se deixe enganar pela simplicidade da
fronteira dos estados separáveis: esse é um caso muito especial. Para uma
base qualquer a imagem resultante é de um cone truncado, e em dimensões
mais altas ninguém sabe.
Note também que a insfera do espaço de estados ficou toda dentro do
espaço dos separáveis. Isso não é mera coincidência. Pode ser facilmente
provado que em qualquer dimensão a insfera só contém estados PPT 8 ; isso
implica separabilidade para os estados de dimensão mais baixa. Mais recentemente,
surgiu um critério de separabilidade 9 [35] que prova a separabilidade
8 Veja a secção 15.5 da ref. [5].
9 Consciente de estar sendo deselegante, não recomendo a ninguém a leitura deste artigo.