Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

Introdução
O “problema do emaranhamento” pode ser resumido em duas perguntas:
dado um estado quântico, ele está emaranhado Quão emaranhado ele está
Ainda não temos uma resposta satisfatória para ambas as perguntas.
Sabemos que a primeira é uma pergunta NP-HARD, e possuímos apenas um
algoritmo probabilístico [1] para respondê-la no caso mais geral. A segunda é
mais delicada; não sabemos nem se o problema é bem posto. Vamos tratar
apenas da primeira nesta monografia.
Sabemos algoritmos determinísticos e eficientes para respondê-la em vários
casos particulares: o problema já foi completamente solucionado para
estados puros bipartites, com a decomposição de Schmidt [2, 3], e é razoavelmente
bem compreendido para as dimensões mais baixas. Para uma visão
geral dos algoritmos mais difundidos, ver o cap. 7 da excelente revisão da
família Horodecki [4], ou o cap. 15 do livro fundamental de Bengtsson e
Życzkowski [5]. Nesta monografia meu foco será apenas o mais famoso: o
critério da transposta parcial positiva.
No capítulo 1, vou definir os termos com os quais estou trabalhando e
desenvolver as ferramentas básicas que utilizarei no restante da monografia.
Procurei não incluir nenhum resultado mais esotérico nele, de forma que
um leitor mais experiente pode pulá-lo com segurança. Ao mesmo tempo,
procurei ser bastante didático e completo, de forma que esse capítulo possa
ser útil para um leitor inexperiente que queira se adentrar do assunto.
No capítulo 2, faço o trabalho técnico mais pesado da monografia: a
demonstração do teorema de Woronowicz, com o objetivo de tirar como
corolário o critério da transposta parcial positiva. Considero isso importante
por não conhecer nenhuma demonstração explícita desse critério na literatura.
Com isso, espero ter facilitado o acesso à informação para quem se interessa
pelos fundamentos matemáticos da teoria quântica da informação.
No capítulo 3, exploro uma consequência imediata das dualidades desenvolvidas
no capítulo anterior: a existência das testemunhas de emaranhamento.
Elas são importantes do ponto de vista teórico e prático, por conta dos
algoritmos poderosos que podemos desenvolver com elas.
Já o capítulo 4, o considero como a cereja no topo do bolo: é um capítulo
bem suave, que utiliza os resultados do restante da monografia para fazer
uma exploração geométrica do espaço de estados. Ele é independente do
capítulo 3 e utiliza apenas os resultados do 2, podendo ser lido logo após o 1.
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