Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 1. ESTADOS, MAPAS E CONES 12
σ ∈ C ⇒ 〈W, σ〉 ≥ β. Dizemos que o hiperplano {x ∈ H | 〈W, x〉 = β} separa ρ
do conjunto C.
Demonstração. Seja f : C → R, f (σ) = ‖σ − ρ‖ 2 2
. Então f é uma função real
definida num domínio compacto, e pelo teorema de Weierstrass existe ¯σ tal
que f (¯σ) = min f (σ).
Seja W := ¯σ − ρ.
1. 〈W, ρ〉 < β. Como ¯σ ̸= ρ, W ̸= 0. Ou seja,
0 < 〈W, W〉 = 〈W, ¯σ〉 − 〈W, ρ〉
⇒ 〈W, ρ〉 < 〈W, ¯σ〉 := β
2. σ ∈ C ⇒ 〈W, σ〉 ≥ β. Como C é um conjunto convexo, podemos
construir uma família de pontos σ λ ∈ C fazendo uma combinação
convexa de dois de seus elementos:
Como minimizamos f , segue que
σ λ = λσ + (1 − λ)¯σ
f (σ λ ) ≥ f (¯σ)
Lembrando que ‖·‖ 2 2
= 〈·, ·〉, expandimos:
e simplificamos:
〈λ(σ − ¯σ) + ¯σ − ρ, λ(σ − ¯σ) + ¯σ − ρ〉 ≥ 〈¯σ − ρ, ¯σ − ρ〉
〈W, σ − ¯σ〉 ≥ − 1 2 λ‖σ − ¯σ‖2 2
Podemos tomar λ = 0, chegando em
〈W, σ〉 ≥ 〈W, ¯σ〉 = β
Um tipo de conjunto convexo extremamente interessante são os cones
convexos. Uma forma de construí-los é tomar um conjunto convexo D de n
dimensões, mergulhado num espaço com k > n dimensões. Escolha um ponto
x fora do conjunto, e forme a união entre todos os raios que partem de x e
passam por S. O resultado é um cone convexo (que corresponde à nossa visão
intuitiva de cone), com vértice x e base D. Note que se tomarmos D como
o conjunto dos estados quânticos, o cone convexo formado é equivalente a
retirarmos a restrição de normalização; este conjunto é simplesmente o dos
operadores positivos.
Um cone convexo fechado V pode ser usado para definir uma desigualdade
generalizada, que é simplesmente um ordenamento parcial em H; dizemos
que
A ≽ V B ⇔ A − B ∈ V