Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

Capítulo 1
Estados, mapas e cones
Neste capítulo irei preparar as ferramentas que utilizarei no restante do texto:
definir os termos com os quais estou trabalhando, bem como provar alguns
teoremas básicos sobre cada área.
Assumirei familiaridade do leitor com a notação de Dirac e com o produto
tensorial, que usarei extensivamente. Creio que minha primeira assumpção é
verdadeira e a segunda é falsa, mas uma exposição de suas propriedades fugiria
muito do foco deste texto. O leitor interessado encontrará uma introdução
amigável sobre ambos em [6, 7].
1.1 Estados quânticos
Definição 1.1. Um estado quântico ρ é um operador positivo 1 de traço unitário. O
conjunto dos estados de dimensão n é conhecido como espaço de estados, que pode
ser visto como um subconjunto da álgebra (C ∗ ) de matrizes complexas de ordem n
denotada por M n .
Definição 1.2. Podemos definir um produto interno nesta álgebra, dotando-a assim
da estrutura de um espaço de Hilbert. O produto interno canônico é o produto interno
de Hilbert-Schmidt:
〈A, B〉 := tr(A ∗ B)
que facilmente verificamos possuir todas as propriedades necessárias 2,3 .
A condição de traço unitário é exigida porque gostamos de interpretar
os elementos da diagonal (em uma dada base) como uma distribuição de
probabilidade. Mas a normalização é irrelevante para uma discussão mais
abstrata; só devemos exigir que o estado seja normalizável 4 . Como trataremos
apenas de estados de dimensão finita, esta restrição só exclui o operador nulo
como estado válido.
1 Um operador positivo ρ é um operador cujos autovalores são todos maiores ou iguais a zero.
Escrevemos ρ ≥ 0.
2 Note que ele é linear no segundo argumento, e não no primeiro. Isso é somente a convenção
utilizada na mecânica quântica.
3 Nesta monografia estaremos interessados apenas em operadores auto-adjuntos. Isso restringe
o produto interno a retornar números reais; temos assim um espaço de Hilbert real.
4 Lembrando que estados linearmente dependentes são equivalentes.
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