Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 2. TEOREMA DE WORONOWICZ 17
= ∑ tr
ij
= ∑〈j|A|i〉〈j|Λ P (B)|i〉
ij
)
= ∑ tr
ij
=
(
A|i〉〈j|
(
= ∑ tr
ij
(
= tr
(
)
tr Λ P (B)|i〉〈j|
)
A|i〉〈j| ⊗ Λ P (B)|i〉〈j|
(
)
A ⊗ Λ P (B)|ii〉〈jj|
)
A ⊗ Λ P (B)|φ + 〉〈φ + |
〉
〈
A ⊗ Λ P (B), |φ + 〉〈φ + |
=
〈
A ⊗ B, 1 ⊗ Λ P (|φ + 〉〈φ + |)
Como esse cálculo ainda é válido se considerarmos combinações convexas
de A ⊗ B o teorema segue.
〉
Portanto, o cone dual é o cone dos estados separáveis 5
P ∗ =
{
}
Q ∈ M mn : Q = ∑ k
p k |α k 〉〈α k | ⊗ |β k 〉〈β k |
(2.5)
É difícil subestimar a importância deste teorema. Foi reinterpretando-o
que a família Horodecki conseguiu fazer um avanço crucial no problema da
separabilidade [15]. Cabe enunciar sua versão:
Teorema 2.4. (Horodecki ⊗3 )
Um estado Q ∈ M A m ⊗ M B n é separável sse
1 ⊗ Λ P (Q) ≥ 0
para todo mapa positivo Λ P : M n → M m .
Demonstração. Se 1 ⊗ Λ P (Q) ≥ 0, 〈 1 ⊗ Λ P (Q), P 〉 ≥ 0 para qualquer projetor
P, e em particular para P = |φ + 〉〈φ + |. Ou seja,
〈
〉 〈
〉
0 ≤ 1 ⊗ Λ P (Q), |φ + 〉〈φ + | = Q, 1 ⊗ Λ P∗ (|φ + 〉〈φ + |)
que é a hipótese do teorema 2.3.
5 Esses p k são apenas coeficientes de uma combinação convexa, como aparece na definição
1.3, e não autovalores.