Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 3. TESTEMUNHAS DE EMARANHAMENTO 28
3.2 Comparação
Com a existência das testemunhas bem estabelecida, podemos começar a explorar
suas propriedades. Ora, temos duas ferramentas similares de detecção
de emaranhamento: as testemunhas e os mapas positivos; é natural, então
fazer essa exploração por contraste.
Primeiramente, note que nem a definição 3.1 nem nenhuma das provas
do teorema 3.2 fizeram referência às partições do espaço de estados; então
podemos concluir que as testemunhas são capazes de detectar emaranhamento
multipartite. Isso também é verdade para os mapas positivos, mas o teste e a
demonstração são mais delicados [24].
Outra coisa que nos vem à mente é: sabemos que o mapa transposição é
capaz de detectar todos os estados emaranhados ρ ∈ M A 2 ⊗ MB 2 . O mesmo
pode ser verdade para alguma testemunha A resposta é não.
Teorema 3.6. Nenhuma testemunha de emaranhamento é capaz de detectar todos os
estados emaranhados de uma dada dimensão.
Demonstração. Na secção 1.1 descobrimos que o conjunto dos estados emaranhados
E não é convexo. Logo, existem ρ, ϱ ∈ E tais que λρ + (1 − λ)ϱ ̸∈ E
para algum λ ∈ [0, 1]. Suponha que exista uma testemunha W capaz de
detectar esses dois estados. Então
tr(Wρ) < 0 e tr(Wϱ) < 0
e
absurdo.
tr(W(λρ + (1 − λ)ϱ)) = λ tr(Wρ) + (1 − λ) tr(Wϱ) < 0
Neste sentido os mapas são muito mais poderosos que as testemunhas.
Sabemos da limitação dos mapas decomponíveis em relação ao emaranhamento
preso. Será que existe uma limitação análoga para as testemunhas
Teorema 3.7. Uma testemunha é da forma
W = P + Q T B
onde P, Q ≥ 0 sse seu mapa correspondente é decomponível. Testemunhas desta
forma são chamadas decomponíveis.
Demonstração. Usando a equação (3.1),
W = 1 ⊗ Λ P (|φ + 〉〈φ + |)
(
)
= 1 ⊗ Λ1 CP (|φ +〉〈φ + |) + 1 ⊗ T 1 ⊗ Λ2 CP (|φ +〉〈φ + |)
= P + 1 ⊗ T(Q)
= P + Q T B