Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 37
e portanto a transposição é apenas uma reflexão em relação ao plano r 2 =
〈ρ, σ 2 〉 = 0. Além disso, através da matriz unitária √ 2σ 2 conseguimos definir
um mapa positivo R : M 2 → M 2
que tem a propriedade complementar
R(ρ) := 2σ 2 ρ σ 2
R(σ 1 ) = −σ 1 R(σ 2 ) = σ 2 R(σ 3 ) = −σ 3
Compondo ambas as operações eu tenho um mapa positivo ¬ : M 2 → M 2
definido por ¬(ρ) := R ◦ T(ρ) = 1 − ρ, que tem a simples interpretação
geométrica
ρ = 1 2 1 + 〈r, σ〉 ⇒ ¬(ρ) = 1 1 − 〈r, σ〉,
2
ou seja, de refletir o vetor de Bloch em relação à identidade.
Em dimensões mais altas esses mapas deixam de ser equivalentes. Surge
então a idéia de usar a generalização natural desse mapa de inverter o vetor
de Bloch
¬(ρ) := 1 (1 − ρ)
n − 1
para construir um critério de separabilidade análogo ao da transposição
parcial. Mas essa idéia é sem futuro: o critério resultante é estritamente
mais fraco 5 que a transposição parcial [17, 34], pois se trata de um mapa
completamente copositivo.
Mas voltemos ao problema em mãos: escolhendo uma unitária determinamos
de forma única n projetores ortonormais que formam uma base para
o conjunto de estados puros de M (n) . E o (n − 1)-simplexo é simplesmente
o conjunto das combinações convexos desses n pontos puros. A base que
escolheremos é a base de Bell 6 , composta por quatro estados maximamente
emaranhados de M (4) :
B ell = {ψ − , ψ + , φ − , φ + }
Esta base tem a interessante propriedade de formar um subespaço vetorial
fechado 7 em relação ao mapa 1 ⊗ R. Mais precisamente
ψ − = 1 ⊗ R(φ + ) φ + = 1 ⊗ R(ψ − )
ψ + = 1 ⊗ R(φ − ) φ − = 1 ⊗ R(ψ + )
Além disso, para qualquer β ∈ B ell é verdade que
β T A
= 1 ⊗ T(β) = 1 ⊗ ¬ ◦ R(β)
e portanto seremos capazes de representar no mesmo espaço o 3-simplexo da
base de Bell, e o espaço de suas transpostas parciais. Isso é interessante pois
5 Apesar de ter aplicações interessantes.
6 Essa base extremamente famosa é definida e explorada em [6].
7 Essa propriedade é compartilhada apenas pela base computacional, que só vai produzir
estados separáveis [33].