Monografia: Fundamentos Matemáticos da Separabilidade - UFMG

CAPÍTULO 1. ESTADOS, MAPAS E CONES 13
Quando o cone em questão é o cone dos operadores positivos, costuma-se
usar simplesmente o símbolo ≥, pois de fato é a generalização natural do
ordenamento padrão de R; isso justifica a notação ρ ≥ 0, para indicar que ρ é
um operador positivo.
Conjuntos convexos compactos sempre possuem pontos especiais, que
podem ser encarados como uma generalização dos vértices de um politopo:
Definição 1.12. Um ponto puro de um conjunto convexo é um ponto que não pode
ser escrito como combinação convexa de outros pontos que pertençam ao conjunto.
Note que a definição de ponto puro não é muito interessante quando nosso
conjunto convexo é um cone; o seu único ponto puro é o vértice. Para ele,
utilizamos o conceito de raio extremo:
Definição 1.13. Um raio extremo de um cone convexo é um raio que passa por um
ponto puro da base.
Definição 1.14. Seja P um conjunto. O menor conjunto convexo C que contém
todos os pontos de P é conhecido como casco convexo de P, denotado C = conv P.
Essas definições são motivadas pela existência do teorema de Minkowski:
Teorema 1.15. (Minkowski)
Qualquer conjunto convexo compacto é igual ao casco convexo de seus pontos
puros. Qualquer cone convexo é igual ao casco convexo de seus raios extremos.
Outro conceito muito importante em análise convexa (ou em toda a matemática)
é o de cone dual. Relações de dualidade podem simplificar muitas
contas, e trazer à tona relações obscuras entre áreas diferentes da matemática.
Definição 1.16. Seja V um cone convexo pertencente a um espaço de Hilbert real de
dimensão finita H. Então o conjunto
é o cone dual de V.
V ∗ = {A ∈ H : 〈A, B〉 ≥ 0 ∀B ∈ V}
Existem várias propriedades úteis dos cones duais, que são fáceis de provar
porém tediosas. Irei simplesmente listá-las.
• V ∗ é sempre fechado e convexo.
• Se V é fechado, então V ∗∗ = V.
• V 1 ⊆ V 2 ⇒ V ∗ 1 ⊇ V ∗ 2 .
• Se A e B são cones convexos, então V = conv A ∪ B ⇒ V ∗ = A ∗ ∩ B ∗ .
Agora temos todas as nossas armas em punho. Podemos partir para a
demonstração do principal teorema da monografia, e detalhar a estrutura do
espaço de estados.