Monografia: Fundamentos MatemÃ¡ticos da Separabilidade - UFMG

More documents

Recommendations

Info

CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 36 Figura 4.3: Simplexo dos autovalores para M (4) (em cinza), incluindo sua insfera. 4.3.1 Estados emaranhados Até agora não falamos de emaranhamento; ora, era de fato impossível, pois essa é uma propriedade que enfaticamente depende da base. E é precisamente escolhendo uma unitária que vou desenhar estados emaranhados. Mas como Existe uma representação simples e bela feita pelos Horodeccy [32], conhecida como stella octangula 4 , que vou reconstruir aqui usando a idéia do simplexo de autovalores. Essa construção será bem mais simples que a deles, pois temos a vantagem de saber o poderoso critério da transposta parcial positiva. Para tal, vamos primeiro interpretar geometricamente a operação de transposição. Teorema 4.1. O mapa T : M 2 → M 2 é equivalente ao mapa ¬ : M 2 → M 2 , ¬(ρ) := 1 − ρ a menos de uma transformação unitária. Demonstração. Representando ρ em seu vetor de Bloch ρ = 1 1 + 〈r, σ〉 2 vemos que precisamos analisar o efeito da transposição apenas em σ. Ora, é imediato que T(σ 1 ) = σ 1 T(σ 2 ) = −σ 2 T(σ 3 ) = σ 3 4 Em 2002, essa representação ganhou uma extensão elegante por Ericsson [33], que não abordarei aqui.
CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO DE ESTADOS 37 e portanto a transposição é apenas uma reflexão em relação ao plano r 2 = 〈ρ, σ 2 〉 = 0. Além disso, através da matriz unitária √ 2σ 2 conseguimos definir um mapa positivo R : M 2 → M 2 que tem a propriedade complementar R(ρ) := 2σ 2 ρ σ 2 R(σ 1 ) = −σ 1 R(σ 2 ) = σ 2 R(σ 3 ) = −σ 3 Compondo ambas as operações eu tenho um mapa positivo ¬ : M 2 → M 2 definido por ¬(ρ) := R ◦ T(ρ) = 1 − ρ, que tem a simples interpretação geométrica ρ = 1 2 1 + 〈r, σ〉 ⇒ ¬(ρ) = 1 1 − 〈r, σ〉, 2 ou seja, de refletir o vetor de Bloch em relação à identidade. Em dimensões mais altas esses mapas deixam de ser equivalentes. Surge então a idéia de usar a generalização natural desse mapa de inverter o vetor de Bloch ¬(ρ) := 1 (1 − ρ) n − 1 para construir um critério de separabilidade análogo ao da transposição parcial. Mas essa idéia é sem futuro: o critério resultante é estritamente mais fraco 5 que a transposição parcial [17, 34], pois se trata de um mapa completamente copositivo. Mas voltemos ao problema em mãos: escolhendo uma unitária determinamos de forma única n projetores ortonormais que formam uma base para o conjunto de estados puros de M (n) . E o (n − 1)-simplexo é simplesmente o conjunto das combinações convexos desses n pontos puros. A base que escolheremos é a base de Bell 6 , composta por quatro estados maximamente emaranhados de M (4) : B ell = {ψ − , ψ + , φ − , φ + } Esta base tem a interessante propriedade de formar um subespaço vetorial fechado 7 em relação ao mapa 1 ⊗ R. Mais precisamente ψ − = 1 ⊗ R(φ + ) φ + = 1 ⊗ R(ψ − ) ψ + = 1 ⊗ R(φ − ) φ − = 1 ⊗ R(ψ + ) Além disso, para qualquer β ∈ B ell é verdade que β T A = 1 ⊗ T(β) = 1 ⊗ ¬ ◦ R(β) e portanto seremos capazes de representar no mesmo espaço o 3-simplexo da base de Bell, e o espaço de suas transpostas parciais. Isso é interessante pois 5 Apesar de ter aplicações interessantes. 6 Essa base extremamente famosa é definida e explorada em [6]. 7 Essa propriedade é compartilhada apenas pela base computacional, que só vai produzir estados separáveis [33].
Page 1 and 2: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DA SEPARAB
Page 3 and 4: Resumo Estados emaranhados são a c
Page 5 and 6: Introdução O “problema do emara
Page 7 and 8: CAPÍTULO 1. ESTADOS, MAPAS E CONES
Page 15 and 16: CAPÍTULO 2. TEOREMA DE WORONOWICZ
Page 25 and 26: Capítulo 3 Testemunhas de emaranha
Page 27 and 28: CAPÍTULO 3. TESTEMUNHAS DE EMARANH
Page 29 and 30: CAPÍTULO 3. TESTEMUNHAS DE EMARANH
Page 31 and 32: CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO D
Page 35: CAPÍTULO 4. GEOMETRIA DO ESPAÇO D
Page 43 and 44: BIBLIOGRAFIA 43 [16] Man-Duen Choi.

Monografia: Fundamentos MatemÃ¡ticos da Separabilidade - UFMG

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?