13IJq7Y

10 1. STRUCTURI ALGEBRICE
1.2. Spa¸tii vectoriale. Subspa¸tii
În fizică, mecanică ¸si tehnică se întâlnesc mărimi pe deplin determinate de
valorile lor numerice într-un anumit sistem de măsură dat. De exemplu lungimea,
aria, volumul, masa sau temperatura unui corp. Toate aceste mărimi poartă numele
generic de mărimi scalare. Alături de acestea se întâlnesc ¸si mărimi care, pentru a
fi determinate, sunt necesare mai multe entită¸ti, în afară de o valoare numerică a
lor. De exemplu for¸tele sau vitezele, care sunt determinate de mărimea lor, un sens
¸si o direc¸tie. Aceste mărimi se numesc generic mărimi vectoriale.
Conceptul matematic care realizează o unificare a mărimilor scalare ¸si vectoriale
¸si care, în acela¸si timp, scoate în eviden¸tă nuan¸tele diferite ale acestor mărimi
distincte, este reprezentat de no¸tiunea de spa¸tiu vectorial peste un câmp de scalari.
Este important de subliniat faptul că, în cele mai multe cazuri, mul¸timile de mărimi
vectoriale sunt înzestrate cu o opera¸tie internă, în raport cu care acestea capătă o
structură de grup abelian. În contrast, mărimile scalare sunt adesea înzestrate cu
două opera¸tii algebrice interne care le conferă o structură de corp comutativ.
D¸T 1.2.1. O mul¸time de obiecte K, înzestrată cu două opera¸tii + :
K × K → K (adunarea) ¸si · : K × K → K (înmul¸tirea), se nume¸ste câmp de
scalari sau corp comutativ dacă
(1) (K, +) este grup abelian cu elementul neutru notat 0;
(2) (K ∗ , ·) este grup abelian cu elementul neutru notat 1, unde K ∗ = K\{0}.
Elementele acestui corp se numesc scalari. Opusul unui scalar λ ∈ K este
notat −λ ∈ K, iar inversul unui scalar λ ∈ K ∗ este notat λ −1 ∈ K ∗ .
E 1.2.1. Fie (K, +, ·) = (R, +, ·), unde ” + ” reprezintă adunarea
numerelor reale ¸si ” · ” reprezintă înmul¸tirea numerelor reale. Este cunoscut faptul
că (R, +) este un grup abelian având ca alement neutru numărul 0. Opusul unui
număr real λ ∈ R este −λ ∈ R. Mai mult, mul¸timea (R ∗ , ·) are, de asemenea,
o structură algebrică de grup abelian având elementul neutru numărul 1. Inversul
unui număr real nenul λ ∈ R ∗ este λ −1 = 1/λ ∈ R ∗ . În concluzie, avem că (R, +, ·)
este un corp comutativ, adică un câmp de scalari reali.
E 1.2.2. Prin analogie cu mul¸timea numerelor reale, să luăm mul¸timea
numerelor complexe (K, +, ·) = (C, +, ·), unde ” + ” reprezintă adunarea numerelor
complexe ¸si ” · ” reprezintă înmul¸tirea numerelor complexe. Este cunoscut faptul
că mul¸timea numerelor complexe (C, +, ·) este un corp comutativ. În concluzie,
mul¸timea numerelor complexe formează un câmp de scalari complec¸si.
Fie acum (V, +) o mul¸time de obiecte, înzestrată cu o opera¸tie aditivă, în
raport cu care mul¸timea de obiecte are o structură algebrică de grup abelian. Întrun
limbaj specific studiului fizico-geometric, elementele acestui grup se numesc
generic vectori. Elementul neutru al acestui grup este notat 0V ¸si poartă numele
de vectorul nul. De asemenea, să fixăm un câmp de scalari (K, +, ·).
D¸T 1.2.2. Mul¸timea de vectori (V, +) se nume¸ste spa¸tiu vectorial
peste câmpul de scalari (K, +, ·) sau K-spa¸tiu vectorial dacă există o opera¸tie
algebrică externă (înmul¸tirea vectorilor cu scalari)
· : K × V → V, (λ, v) ↦→ λ · v,