13IJq7Y

3.1. DEFINI ¸TIE. PROPRIETĂ ¸TI. EXEMPLE 43
În concluzie, aplica¸tia f nu este o aplica¸tie liniară.
E 3.1.3. Fie aplica¸tia f : R 2 → R 2 , definită prin
f(x, y) = (x − y, x + sin y).
Vom arăta în continuare că, de¸si această aplica¸tie duce vectorul nul din R 2 în
vectorul nul din R 2 , totu¸si ea nu este o aplica¸tie liniară. Acest lucru subliniază
faptul că condi¸tia
f(0, 0) = (0, 0)
este una necesară nu ¸si suficientă. Să presupunem că aplica¸tia f este liniară.
Atunci, următoarea proprietate ar trebui să fie adevărată:
f(α(x, y)) = αf(x, y), ∀ α ∈ R, ∀ (x, y) ∈ R 2 .
Această proprietate este însă echivalentă cu
(α(x − y), αx + sin(αy)) = α(x − y, x + sin y), ∀ α ∈ R, ∀ (x, y) ∈ R 2 .
Prin urmare, dacă aplica¸tia f ar fi liniară ar trebui ca următoarea egalitate trigonometrică
să fie adevărată:
sin(αy) = α sin y, ∀ α ∈ R, ∀ y ∈ R.
Această egalitate trigonometrică nu este însă adevărată pentru orice α ∈ R. Spre
exemplu, pentru α = 2 avem
sin(2y) = 2 sin y cos y = 2 sin y, ∀ y ∈ R\{2kπ | k ∈ Z}.
În concluzie, aplica¸tia f nu este o aplica¸tie liniară, de¸si f(0, 0) = (0, 0).
E 3.1.4. Fie aplica¸tia D : R2[X] → R1[X], definită prin
D(f) = f ′ ,
unde f ′ ∈ R1[X] reprezintă derivata polinomului f ∈ R2[X]. Atunci, următoarele
egalită¸ti sunt adevărate:
Mai mult, avem
D(f + g) = (f + g) ′ = f ′ + g ′ = D(f) + D(g), ∀ f, g ∈ R2[X].
D(αf) = (αf) ′ = αf ′ = αD(f), ∀ α ∈ R, ∀ f ∈ R2[X].
În concluzie, aplica¸tia D este o aplica¸tie liniară. Această aplica¸tie liniară se nume¸ste
operatorul liniar de derivare.
E 3.1.5. Fie aplica¸tia I : R2[X] → R3[X], definită prin
I(f) =
x
0
f(t)dt,
unde f ∈ R2[X]. În acest context, următoarele egalită¸ti sunt adevărate:
I(f +g) =
¸si
x
0
I(αf) =
[f(t)+g(t)]dt =
x
0
x
[αf(t)]dt = α
0
f(t)dt+
x
0
x
0
g(t)dt = I(f)+I(g), ∀ f, g ∈ R2[X],
f(t)dt = αI(f), ∀ α ∈ R, ∀ f ∈ R2[X].
În concluzie, aplica¸tia I este o aplica¸tie liniară. Această aplica¸tie liniară se nume¸ste
operatorul liniar de integrare.