13IJq7Y

14 1. STRUCTURI ALGEBRICE
Mai mult, luând λ ∈ R, deducem că
a 0
λ =
0 a
λa 0
0 λa
∈ W.
Prin urmare, conform criteriului de subspa¸tiu, avem W ≤R M2(R).
E 1.2.8. Fie submul¸timea W1 = {(x, 0) | x ∈ R} ⊆ R 2 . Luând vectorii
(x, 0) ∈ W1 ¸si (y, 0) ∈ W1, deducem că
Mai mult, avem
(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) ∈ W1.
λ(x, 0) = (λx, 0) ∈ W1, ∀ λ ∈ R.
În consecin¸tă, avem W1 ≤R R 2 . Prin analogie, submul¸timea W2 = {(0, y) | y ∈ R}
este un subspa¸tiu al spa¸tiului vectorial RR 2 .
E 1.2.9. Fie W = {f ∈ R[X] | grad(f) = 2} ⊆ R2[X]. Deoarece
suma a două polinoame de grad doi poate avea ca rezultat un polinom de grad mai
mic decât doi, deducem că prima proprietate de la criteriul de subspa¸tiu nu este
satisfăcută. De exemplu, luând polinoamele f = 2+X 2 ∈ W ¸si g = 1−X−X 2 ∈ W,
ob¸tinem f +g = 3−X /∈ W. În concluzie, W nu este un subspa¸tiu în spa¸tiul vectorial
al polinoamelor de grad cel mult doi RR2[X].
E 1.2.10. Fie W = {(x, y, z) ∈ R 3 | x + 2y − z = 0} ⊆ R 3 . Evident
avem
W = {(α, β, α + 2β) | α, β ∈ R}.
Fie vectorii (α, β, α + 2β) ∈ W ¸si (α ′ , β ′ , α ′ + 2β ′ ) ∈ W. Suma acestor vectori este
Mai mult, avem
(α + α ′ , β + β ′ , α + α ′ + 2(β + β ′ )) ∈ W.
λ(α, β, α + 2β) = (λα, λβ, λα + 2(λβ)) ∈ W, ∀ λ ∈ R.
Prin urmare, conform criteriului de subspa¸tiu, avem W ≤R R 3 .
E 1.2.11. Fie W = {(x, y, z, t) ∈ R 4 | x + y + z + t + 1 = 0} ⊆ R 4 .
Submul¸timea W se poate rescrie sub forma
W = {(x, y, z, −x − y − z − 1) | x, y, z ∈ R}.
Luând doi vectori arbitrari din W , de exemplu
(x, y, z, −x − y − z − 1) ∈ W ¸si (x ′ , y ′ , z ′ , −x ′ − y ′ − z ′ − 1) ∈ W,
deducem că suma lor
(x + x ′ , y + y ′ , z + z ′ , −(x + x ′ ) − (y + y ′ ) − (z + z ′ ) − 2)
nu apar¸tine lui W . În concluzie, W nu este un subspa¸tiu al spa¸tiului vectorial RR 4 .