13IJq7Y

3.4. IZOMORFISME DE SPA ¸TII VECTORIALE 49
adică mul¸timea B2 este liniar independentă. Să demonstrăm acum că mul¸timea B2
este un sistem de generatori pentru imaginea Im(f). Pentru aceasta să considerăm
un vector arbitrar w ∈ Im(f). Din defini¸tia imaginii Im(f) deducem că există un
vector v ∈ V astfel încât f(v) = w. Deoarece mul¸timea B este o bază în spa¸tiul
vectorial V, rezultă că există scalarii k1, k2, ..., kn ∈ K astfel încât
v = k1e1 + k2e2 + ... + kpep + kp+1v1 + kp+2v2 + ... + knvn−p.
Calculând aplica¸tia liniară f în egalitatea de mai sus ¸si ¸tinând cont că
deducem că avem egalitatea
f(v) = w ¸si f(e1) = f(e2) = ... = f(ep) = 0,
w = kp+1f(v1) + kp+2f(v2) + ... + knf(vn−p).
Cu alte cuvinte, vectorul arbitrar w ∈ Im(f) este o combina¸tie liniară de vectorii
f(v1), f(v2), ..., f(vn−p),
adică mul¸timea B2 este un sistem de generatori pentru imaginea Im(f).
C 3.4.1. Fie f ∈ LK(V, W ) o aplica¸tie liniară. Dacă domeniul V
este un K-spa¸tiu vectorial finit dimensional, atunci avem adevărate următoarele
afirma¸tii:
(1) Dacă f este injectivă, atunci dimK V ≤ dimK W ;
(2) Dacă f este surjectivă, atunci dimK V ≥ dimK W;
(3) Dacă f este bijectivă, atunci dimK V = dimK W .
D¸T. Teorema dimensiunii de mai sus ne asigură că întotdeauna
avem egalitatea
dimK V = def(f) + rang(f).
(1) Dacă f este injectivă, atunci, conform teoremei de caracterizare a injectivită¸tii,
avem
def(f) = 0.
Deoarece imaginea Im(f) este subspa¸tiu vectorial al codomeniului W, ob¸tinem inegalitatea
dimK V = rang(f) = dimK Im(f) ≤ dimK W.
(2) Dacă f este surjectivă, atunci, conform teoremei de caracterizare a surjectivită¸tii,
avem
rang(f) = dimK W.
Deoarece întotdeauna avem def(f) ≥ 0, ob¸tinem inegalitatea
dimK V = def(f) + dimK W ≥ dimK W.
(3) Dacă f este bijectivă, atunci f este ¸si injectivă ¸si surjectivă. Prin urmare,
conform punctelor (1) ¸si (2), avem inegalită¸tile
În concluzie, avem egalitatea
dimK V ≤ dimK W ¸si dimK V ≥ dimK W.
dimK V = dimK W.