13IJq7Y

2.2. COORDONATE. SCHIMBĂRI DE COORDONATE 25
T 2.1.5 (Grassmann). Dacă U, W sunt subspa¸tii finit dimensionale ale
lui KV , atunci U + W ¸si U ∩ W sunt, de asemenea, subspa¸tii finit dimensionale ale
lui KV . Mai mult, avem rela¸tia
¸si
dimK(U + W ) = dimK U + dimK W − dimK(U ∩ W ).
D¸T. Fie {e1, e2, ..., ep} bază în U ∩ W. Atunci există vectorii
astfel încât
bază în U ¸si
bază în W . Evident, avem
up+1, up+2, ..., up+q ∈ U
wp+1, wp+2, ..., wp+r ∈ W
{e1, e2, ..., ep, up+1, up+2, ..., up+q}
{e1, e2, ..., ep, wp+1, wp+2, ..., wp+r}
{e1, e2, ..., ep, up+1, up+2, ..., up+q, wp+1, wp+2, ..., wp+r}
bază în U + W. Rezultă ceea ce trebuia demonstrat.
C 2.1.1. Dacă U, W sunt subspa¸tii finit dimensionale ale lui KV
aflate în sumă directă, atunci U ⊕W este, de asemenea, subspa¸tiu finit dimensional
al lui KV . Mai mult, avem rela¸tia
dimK(U ⊕ W ) = dimK U + dimK W.
D¸T. Folosim Teorema Grassmann ¸si ¸tinem cont că U ∩W = {0V }.
E 2.1.18. Fie U = {a + bX | a, b ∈ R} ¸si W = {αX 2 | α ∈ R} două
subspa¸tii ale lui RR2[X]. Atunci avem
R2[X] = U ⊕ W.
Pentru a demonstra acest lucru, fie f ∈ U ∩ W . Deducem că ∃ a, b, α ∈ R astfel
încât
f = a + bX = αX 2 ⇔ a + bX − αX 2 = 0 ⇔ a = b = α = 0.
În concluzie, U ∩ W = {0}, adică subspa¸tiile U ¸si W se află în sumă directă:
Mai mult, avem
U ⊕ W ≤R R2[X].
dimR(U ⊕ W ) = dimR U + dimR W = 2 + 1 = 3 = dimR R2[X].
2.2. Coordonate. Schimbări de coordonate
Fie V un K-spa¸tiu vectorial, dimK V = n. Fie B = {e1, e2, ..., en} bază în KV.
Deoarece B este bază, rezultă că
∀ v ∈ V, ∃! x1, x2, ..., xn ∈ K astfel încât v = x1e1 + x2e2 + ... + xnen.
D¸T 2.2.1. Matricea (x1, x2, ..., xn) ∈ M1,n(K) se nume¸ste n-uplul de
coordonate al vectorului v în baza B a spa¸tiului vectorial KV.