13IJq7Y

2.3. PRODUSE SCALARE. LUNGIMI ¸SI UNGHIURI 33
||v|| = 1 2 + 2 2 + 3 2 = √ 14 ¸si ||w|| = 3 2 + 2 2 + 0 2 = √ 13.
În concluzie, ob¸tinem
< v, w >
cos θ =
||v|| · ||w|| =
7 7
7
√ √ = ⇔ θ = arccos
14 · 13 26 26 .
E 2.3.6. Să calculăm unghiul dintre vectorii
f = X ¸si g = X 2
în spa¸tiul euclidian (R2[X], ). Conform defini¸tiei produsului scalar pe spa¸tiul
vectorial real R2[X], avem
< f, g >=
Deducem că cos θ = 0, adică θ = π/2.
1
−1
x 3 dx = 0.
D¸T 2.3.5. Doi vectori nenuli v, w ∈ V \{0V } sunt ortogonali (perpendiculari)
în spa¸tiul euclidian (V, ) dacă
< v, w >= 0.
În această situa¸tie, vom folosi nota¸tia v ⊥ w.
P¸T 2.3.1. Orice doi vectori nenuli ortogonali v ⊥ w în spa¸tiul euclidian
(V, ) sunt liniar independen¸ti.
D¸T. Fie α, β ∈ R astfel încât αv + βw = 0V , unde
< v, w >= 0.
Aplicând în egalitatea precedentă produsul scalar cu vectorul v, ob¸tinem
α < v, v > +β < w, v >= 0,
adică α = 0. Analog, făcând produsul scalar al egalită¸tii de mai sus cu vectorul w,
deducem că β = 0. În concluzie, mul¸timea {v, w} este liniar independentă.
C 2.3.2. Fie (V, ) un spa¸tiu euclidian de dimensiune
dimR V = n ≥ 1.
În acest context, orice mul¸time de n vectori ortogonali unul pe celălalt formează o
bază a spa¸tiului euclidian (V, ).
D¸T. Fie mul¸timea de vectori B = {e1, e2, ..., en} ⊆R V, unde
ei ⊥ ej, ∀ i, j = 1, n, i = j.
Conform propozi¸tiei anterioare, deducem că mul¸timea B este liniar independentă.
Deoarece avem
dimR V = n,
rezultă că mul¸timea B este de fapt bază în spa¸tiului euclidian (V, ).