13IJq7Y

unde
12.4. APLICA ¸TIA WEINGARTEN. CURBURILE UNEI SUPRAFE ¸TE 249
D¸T 12.3.3. Func¸tia matriceală b : Σ → M2(R) definită prin
P = r(u, v) ∈ Σ → bP
def
=
l m
m n
,
l =< ruu, U >, m =< ruv, U > ¸si n =< rvv, U >,
se nume¸ste a doua formă fundamentală a suprafe¸tei Σ = Im r.
E 12.3.2. Să se calculeze a doua formă fundamentală a suprafe¸tei
Σ = Im r, unde
r : (0, ∞) × (0, 2π) → R 3 , r(u, v) = (u cos v, u sin v, u + v).
Prin derivări par¸tiale ob¸tinem
Derivând în continuare, găsim
ru = (cos v, sin v, 1) ¸si rv = (−u sin v, u cos v, 1).
ruu = (0, 0, 0), ruv = (− sin v, cos v, 0) ¸si rvv = (−u cos v, −u sin v, 0).
Produsul vectorial al vectorilor ru ¸si rv este
i j k
ru × rv =
cos v sin v 1
≡ (sin v − u cos v, − cos v − u sin v, u)
−u sin v u cos v 1
iar norma acestuia este
||ru × rv|| = 2u 2 + 1.
Prin urmare, versorul normal al suprafe¸tei Σ este
1
U =
||ru × rv|| · [ru
1
× rv] = √ · (sin v − u cos v, − cos v − u sin v, u).
2u2 + 1
¸si
În concluzie, coeficien¸tii celei de-a doua forme fundamentale sunt
1
l =< ruu, U >= 0, m =< ruv, U >= −√
2u2 + 1
n =< rvv, U >=
u 2
√ 2u 2 + 1 ,
adică a doua formă fundamentală a suprafe¸tei Σ este
b =
1
√ 2u 2 + 1 ·
0 −1
−1 u 2
.
12.4. Aplica¸tia Weingarten. Curburile unei suprafe¸te
În această sec¸tiune vom introduce ni¸ste concepte matematice (aplica¸tia Weingarten,
curbura totală, curbura medie ¸si curburile principale) care permit efectiv
descrierea locală sau globală a formei suprafe¸tei parametrizate Σ = Im r.
D¸T 12.4.1. Func¸tia matriceală L : Σ → M2(R) definită prin
P = r(u, v) ∈ Σ → LP
def
= (g −1 · b)P =
1
·
EG − F 2
se nume¸ste aplica¸tia Weingarten a suprafe¸tei Σ = Im r.
lG − mF mG − nF
mE − lF nE − mF