13IJq7Y

CAPITOLUL 3
APLICA¸TII LINIARE
În studiul structurilor algebrice de grup, inel sau corp, un rol extrem de important
este jucat de morfismele ¸si, mai ales, de izomorfismele de grupuri, inele
sau corpuri. Prin analogie, un rol important în studiul spa¸tiilor vectoriale este
jucat de morfismele de spa¸tii vectoriale numite, pe scurt, aplica¸tii liniare. Un rol
aparte este jucat de izomorfismele de spa¸tii vectoriale, reprezentate de aplica¸tiile
liniare bijective. Aceste izomorfisme scot în eviden¸tă anumite spa¸tii vectoriale care,
din cauză că sunt izomorfe cu o clasă întreagă de alte spa¸tii vectoriale, reprezintă
obiectul principal de studiu în algebra liniară. În acest sens, de exemplu, subliniem
importan¸ta studiului spa¸tiului vectorial real RR n care este izomorf cu orice spa¸tiu
vectorial real de dimensiune n.
3.1. Defini¸tie. Proprietă¸ti. Exemple
Fie V ¸si W două K-spa¸tii vectoriale.
D¸T 3.1.1. O aplica¸tie f : V → W care verifică proprietă¸tile:
(1) f(v + w) = f(v) + f(w), ∀ v, w ∈ V ;
(2) f(αv) = αf(v), ∀ α ∈ K, ∀ v ∈ V,
se nume¸ste aplica¸tie liniară sau transformare liniară sau morfism de
spa¸tii vectoriale.
O¸T 3.1.1. Mul¸timea tuturor aplica¸tiilor liniare de la K-spa¸tiul vectorial
V la K-spa¸tiul vectorial W se notează LK(V, W ).
D¸T 3.1.2. O aplica¸tie liniară f : V → V se nume¸ste endomorfism al
K-spa¸tiului vectorial V.
O¸T 3.1.2. Mul¸timea tuturor endomorfimelor K-spa¸tiului vectorial V
se notează EndK(V ). Mul¸timea
(EndK(V ), +, ◦),
unde ” + ” reprezintă adunarea func¸tiilor ¸si ” ◦ ” reprezintă compunerea func¸tiilor,
are o structură algebrică de inel necomutativ.
D¸T 3.1.3. Fie f ∈ LK(V, W ) o aplica¸tie liniară. Dacă f : V → W este
bijectivă, atunci aplica¸tia f se nume¸ste izomorfism de spa¸tii vectoriale. În această
situa¸tie, vom folosi nota¸tia
V f ≃ W.
P¸T 3.1.1. Fie f ∈ LK(V, W ) o aplica¸tie liniară. Atunci aplica¸tia f
verifică următoarele proprietă¸ti:
41