13IJq7Y

3.7. FORMA DIAGONALĂ A UNUI ENDOMORFISM 65
baza canonică a spa¸tiului vectorial RR3 . Evident, matricea endomorfismului f în
baza canonică B este
⎛
4 6
⎞
0
MB(f) = ⎝ −3 −5 0 ⎠ .
−3 −6 1
Polinomul caracteristic asociat endomorfismului f este
4 − λ 6 0
Pf(λ) = det [MB(f) − λI3] =
−3 −5 − λ 0
−3 −6 1 − λ = −(λ + 2)(λ − 1)2 .
Rădăcinile acestui polinom sunt valorile proprii ale endomorfismului f. Prin
urmare, valorile proprii ale endomorfismului f sunt
de multiplicitate algebrică
¸si
de multiplicitate algebrică
λ1 = −2,
m1 = 1,
λ2 = 1,
m2 = 2.
Subspa¸tiul propriu corespunzător valorii proprii λ1 = −2 este
Vλ1 =
⎧
⎛
⎞ ⎛
⎨
6 6 0
(x, y, z) ∈ R3 ⎝
⎩ −3 −3 0 ⎠ ⎝
−3 −6 3
x
⎞ ⎛
y ⎠ = ⎝
z
0
⎞⎫
⎬
0 ⎠
⎭
0
=
= (x, y, z) ∈ R 3 | 6x + 6y = 0, − 3x − 6y + 3z = 0 =
= {(−y, y, y) | y ∈ R} .
Dimensiunea subspa¸tiului propriu Vλ1 este
p1 = dimR Vλ1 = 1 = m1.
Baza canonică a subspa¸tiului propriu Vλ1 este
B1 = {(−1, 1, 1)}.
Subspa¸tiul propriu corespunzător valorii proprii λ2 = 1 este
⎧
⎛
⎞ ⎛
⎨
3 6 0
Vλ2 = (x, y, z) ∈ R3 ⎝
⎩ −3 −6 0 ⎠ ⎝
−3 −6 0
x
⎞ ⎛
y ⎠ = ⎝
z
0
⎞⎫
⎬
0 ⎠
⎭
0
=
= (x, y, z) ∈ R 3 | 3x + 6y = 0 =
= {(−2y, y, z) | y, z ∈ R} .
Dimensiunea subspa¸tiului propriu Vλ2 este
p2 = dimR Vλ2 = 2 = m2.
Baza canonică a subspa¸tiului propriu Vλ2 este
B2 = {(−2, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Baza în care se ob¸tine forma diagonală a endomorfismului f este
B ′ = {e ′ 1 = (−1, 1, 1), e ′ 2 = (−2, 1, 0), e ′ 3 = (0, 0, 1)}.