13IJq7Y

248 12. SUPRAFE ¸TE
O¸T 12.3.1. Deoarece avem adevărată rela¸tia
0 < ||ru × rv|| 2 = ||ru|| 2 ||rv|| 2 − < ru, rv > 2 = EG − F 2 = det g,
deducem că prima formă fundamentală a suprafe¸tei Σ = Im r este inversabilă.
Subliniem faptul că, în acest context, no¸tiunea de inversă nu se referă la inversa
func¸tiei matriceale g ci la faptul că matricile gP admit o inversă g −1
P pentru orice
punct P al suprafe¸tei Σ. Astfel, inversa primei forme fundamentale a suprafe¸tei Σ
este definită de func¸tia matriceală
g −1 : Σ → M2(R), g −1
P =
1 G −F
·
.
EG − F 2 −F E
E 12.3.1. Să se calculeze prima formă fundamentală g a suprafe¸tei
Σ = Im r, precum ¸si inversa acesteia g −1 , unde
r : (0, ∞) × (0, 2π) → R 3 , r(u, v) = (u cos v, u sin v, u + v).
Prin derivări par¸tiale ob¸tinem
ru = (cos v, sin v, 1) ¸si rv = (−u sin v, u cos v, 1).
Coeficien¸tii primei forme fundamentale sunt
E =< ru, ru >= 2, F =< ru, rv >= 1 ¸si G =< rv, rv >= u 2 + 1,
adică prima formă fundamentală a suprafe¸tei Σ este
g =
2 1
1 u 2 + 1
.
Deoarece determinantul primei forme fundamentale este
det g = 2u 2 + 1 > 0,
rezultă că inversa primei forme fundamentale a suprafe¸tei Σ este
g −1 =
1
2u 2 + 1 ·
u 2 + 1 −1
−1 2
.
D¸T 12.3.2. Func¸tia vectorială U : Σ → R 3 definită prin
P = r(u, v) ∈ Σ → UP
def
=
se nume¸ste versorul normal la suprafa¸ta Σ = Im r.
1
||ru × rv|| · [ru × rv]
O¸T 12.3.2. Din defini¸tia produsului vectorial a doi vectori liberi rezultă
evident că versorul UP este perpendicular pe planul tangent TP Σ, unde P = r(u, v).
Prin urmare, sistemul de vectori
BP = {ru, rv, UP }
formează o bază mobilă (neortonormată!) în spa¸tiul vectorial euclidian (R 3 , ).
Pentru a introduce cel de-al doilea concept geometric care ne interesează, vom
folosi nota¸tiile:
2 ∂ x
ruu =
∂u2 , ∂2y ∂u2 , ∂2z ∂u2 2 ∂ x
, ruv =
∂u∂v , ∂2y ∂u∂v , ∂2
z
∂u∂v
¸si
2 ∂ x
rvv =
∂v2 , ∂2y ∂v2 , ∂2z ∂v2
.