13IJq7Y

2.4. BAZE ORTONORMATE. COMPLEMENTE ORTOGONALE 39
Vom demonstra că v − w ∈ W ⊥ . Pentru aceasta este suficient să observăm că avem
< v − w, ei >=< v, ei > − < w, ei >=< v, ei > − < v, ei >= 0, ∀ i = 1, n.
În concluzie, avem descompunerea unică
v = w + (v − w),
unde w ∈ W ¸si v − w ∈ W ⊥ . Cu alte cuvinte, ob¸tinem egalitatea
W ⊕ W ⊥ = V.
C 2.4.1. Fie W un subspa¸tiu al spa¸tiului euclidian (V, ) ¸si fie
v ∈ V un vector arbitrar. Atunci există ¸si sunt unici ni¸ste vectori w ∈ W ¸si
w ⊥ ∈ W ⊥ astfel încât
v = w + w ⊥ .
D¸T. Proprietaea din corolar este evidentă din rela¸tia
V = W ⊕ W ⊥ .
D¸T 2.4.3. Fie W un subspa¸tiu al spa¸tiului euclidian (V, ) ¸si fie
v ∈ V un vector arbitrar. Vectorii w ∈ W ¸si w ⊥ ∈ W ⊥ , cu proprietatea
v = w + w ⊥ ,
se numesc proiec¸tiile vectorului v pe subspa¸tiile W ¸si W ⊥ .
E 2.4.5. Fie subspa¸tiul vectorial
W = {(x, 0) | x ∈ R} ≤R R 2 .
Să calculăm complementul ortogonal W ⊥ în spa¸tiul euclidian (R 2 , ) ¸si să determinăm
proiec¸tiile vectorului v = (1, 2) pe subspa¸tiile W ¸si W ⊥ . Pentru aceasta
să observăm că
dimR W = 1.
O bază în W este
B = {e1 = (1, 0)}.
Căutăm acum to¸ti vectorii (x, y) ∈ R 2 astfel încât
< (x, y), (1, 0) >= 0.
Rezultă că x = 0. Prin urmare, complementul ortogonal al subspa¸tiului W este
subspa¸tiul
W ⊥ = {(0, y) | y ∈ R}.
Din teorema precedentă deducem că
Evident avem descompunerea unică
R 2 = W ⊕ W ⊥ .
(1, 2) = (1, 0) + (0, 2),
unde (1, 0) ∈ W ¸si (0, 2) ∈ W ⊥ . Este important de remarcat că, din punct de vedere
geometric, proiec¸tiile vectorului v = (1, 2) pe subspa¸tiile W ¸si W ⊥ , adică vectorii
(1, 0) ∈ W ¸si (0, 2) ∈ W ⊥ , reprezintă exact coordonatele proiec¸tiilor ortogonale ale
punctului P (1, 2) pe axele de coordonate Ox ¸si Oy.