13IJq7Y

16 1. STRUCTURI ALGEBRICE
Dacă intersec¸tia a două subspa¸tii vectoriale este în mod cert un subspa¸tiu
vectorial, prin contrast, reuniunea a două subspa¸tii vectoriale nu este în mod obligatoriu
un subspa¸tiu vectorial. Din acest motiv, introducem suma a două subspa¸tii
vectoriale ca fiind
W1 + W2 = L(W1 ∪ W2).
P¸T 1.3.3. Suma a două subspa¸tii vectoriale este dată de mul¸timea
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}.
D¸T. Vom demonstra egalitatea din propozi¸tie folosind principiul
dublei incluziuni.
Este evident că mul¸timea {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} este inclusă în
W1 + W2 = L(W1 ∪ W2).
Reciproc, să considerăm un vector v ∈ W1 + W2 = L(W1 ∪ W2). Deducem că
vectorul v este o combina¸tie liniară finită cu vectori din W1 ∪ W2, adică avem
v = α1v1 + α2v2 + ... + αpvp,
unde αi ∈ K ¸si vi ∈ W1 ∪ W2, ∀ i = 1, p. Grupând termenii din combina¸tia liniară
a lui v, într-o parte cei care sunt în W1 ¸si în cealaltă parte cei care sunt în W2,
ob¸tinem că v = w1 + w2, unde w1 ∈ W1 ¸si w2 ∈ W2, adică ceea ce aveam de
demonstrat.
În final, este important de subliniat faptul că vectorii w1 ∈ W1 ¸si w2 ∈ W2 nu
sunt unici în descompunerea lui v = w1 +w2 deoarece, în combina¸tia liniară a lui v,
termenii comuni din W1 ∩ W2 pot fi ata¸sa¸ti aleator la termenii din W1 sau W2.
D¸T 1.3.1. Subspa¸tiul vectorial sumă W1 + W2 se nume¸ste subspa¸tiu
sumă directă dacă W1 ∩ W2 = {0V }. În acest caz vom folosi nota¸tia
W1 ⊕ W2 = L(W1 ∪ W2).
P¸T 1.3.4. Dacă W1 ¸si W2 sunt subspa¸tii aflate în sumă directă, atunci
avem
W1 ⊕ W2 = {v ∈ V | ∃! w1 ∈ W1, w2 ∈ W2 astfel încât v = w1 + w2}.
D¸T. Folosind propozi¸tia anterioară, deducem că este suficient să
demonstrăm unicitatea descompunerii vectorului v. Să presupunem atunci ca avem
v = w1 + w2 = w ′ 1 + w ′ 2, unde w1, w ′ 1 ∈ W1 ¸si w2, w ′ 2 ∈ W2. Rezultă că avem
egalitatea w1 − w ′ 1 = w ′ 2 − w2. Deoarece w1 − w ′ 1 ∈ W1 ¸si w ′ 2 − w2 ∈ W2, ob¸tinem că
w1 − w ′ 1 ¸si w ′ 2 − w2 ∈ W1 ∩ W2 = {0V }. Cu alte cuvinte, avem w1 = w ′ 1 ¸si w2 = w ′ 2,
adică ceea ce aveam de demonstrat.
E 1.3.4. Fie subspa¸tiile vectoriale în RR 2 , definite prin
W1 = {(x, 0) | x ∈ R} ¸si W2 = {(0, y) | y ∈ R}.
Fie v = (x, y) ∈ W1 ∩ W2. Este evident că avem x = y = 0, adică avem subspa¸tiul
sumă directă
W1 ⊕ W2 ≤R R 2 .
Fie acum (x, y) ∈ R 2 un vector arbitrar din R 2 . Acest vector se descompune unic
în
(x, y) = (x, 0) + (0, y),
unde (x, 0) ∈ W1 ¸si (0, y) ∈ W2. În concluzie, avem
R 2 = W1 ⊕ W2.