You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3.3. IMAGINEA UNEI APLICA ¸TII LINIARE. SURJECTIVITATE 47<br />
D¸T. Este evident că afirma¸tiile (2) ¸si (3) sunt echivalente. Să<br />
demonstrăm acum că (1) ⇒ (2). Pentru aceasta, să presupunem că aplica¸tia liniară<br />
f este surjectivă ¸si să luăm un vector arbitrar w ∈ W. Deoarece aplica¸tia f este<br />
surjectivă, rezultă că există un vector v ∈ V astfel încât f(v) = w. Prin urmare,<br />
avem w ∈ Im(f). În concluzie, avem W ⊆ Im(f). Deoarece este evident că avem<br />
Im(f) ⊆ W, ob¸tinem că avem egalitatea W = Im(f). Reciproc, să presupunem<br />
că Im(f) = W ¸si să considerăm un vector arbitrar w ∈ W = Im(f). Din defini¸tia<br />
imaginii unei aplica¸tii liniare rezultă că există un vector v ∈ V astfel încât f(v) = w.<br />
Cu alte cuvinte, din defini¸tia surjectivită¸tii unei aplica¸tii rezultă că aplica¸tia liniară<br />
f este surjectivă. <br />
E 3.3.1. Fie aplica¸tia liniară f : R 3 → R 2 , definită prin<br />
f(x, y, z) = (x − y, 2x + y + z).<br />
Să calculăm imaginea aplica¸tiei liniare f. Din defini¸tia imaginii unei aplica¸tii liniare<br />
deducem că avem<br />
Im(f) = {(u, v) ∈ R 2 | ∃ (x, y, z) ∈ R 3 astfel încât f(x, y, z) = (u, v)} =<br />
= {(u, v) ∈ R 2 | ∃ (x, y, z) ∈ R 3 astfel încât x − y = u, 2x + y + z = v}.<br />
Deoarece sistemul liniar x − y = u<br />
2x + y + z = v<br />
are solu¸tie pentru orice valori u, v ∈ R, rezultă că<br />
Im(f) = R 2 .<br />
Conform teoremei anterioare, deducem că aplica¸tia liniară f este surjectivă.<br />
E 3.3.2. Fie aplica¸tia liniară de integrare I : R2[X] → R3[X], definită<br />
prin<br />
I(f) =<br />
x<br />
0<br />
f(t)dt,<br />
unde f ∈ R2[X]. Să calculăm imaginea aplica¸tiei liniare de integrare I. Prin defini¸tie,<br />
avem<br />
Im(I) = {g ∈ R3[X] | ∃ f ∈ R2[X] astfel încât I(f) = g}<br />
Fie un polinom arbitrar de grad cel mult trei, definit prin<br />
g = AX 3 + BX 2 + CX + D, A, B, C, D ∈ R.<br />
Să presupunem că există un polinom de grad cel mult doi, definit prin<br />
astfel încât I(f) = g. Atunci avem<br />
adică<br />
f = aX 2 + bX + c, a, b, c ∈ R,<br />
x<br />
(at<br />
0<br />
2 + bt + c)dt = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D,<br />
a x3<br />
+ bx2<br />
3 2 + cx = Ax3 + Bx 2 + Cx + D.<br />
Egalând coeficien¸tii celor două polinoame, găsim egalită¸tile: a = 3A, b = 2B, c = C<br />
¸si D = 0. În concluzie, imaginea aplica¸tiei liniare de integrare I este<br />
Im(I) = {AX 3 + BX 2 + CX | A, B, C ∈ R} = R3[X].
Change language