13IJq7Y

12.5. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A CURBURILOR UNEI SUPRAFE ¸TE 261
Deci, în contextul geometric prezentat mai sus, am dedus că func¸tia ϕ(u, v) are
proprietă¸tile
ϕ(0, 0) = ∂ϕ ∂ϕ
(0, 0) =
∂u ∂v (0, 0) = ∂2ϕ (0, 0) = 0
∂u∂v
¸si
∂2ϕ ∂u2 (0, 0) = k1(P ), ∂2ϕ ∂v2 (0, 0) = k2(P ).
Atunci, conform formulei lui Taylor aplicată func¸tiei ϕ(u, v) ¸si punctului (0, 0),
deducem că, pe o vecinătate suficient de mică a punctului (0, 0), putem aproxima
func¸tia ϕ(u, v) cu func¸tia polinomială de grad doi
f(u, v) = ϕ(0, 0) + ∂ϕ ∂ϕ
(0, 0) · u + (0, 0) · v +
∂u ∂v
+ 1
2 ·
2 ∂ ϕ
∂u2 (0, 0) · u2 + 2 · ∂2ϕ ∂u∂v (0, 0) · u · v + ∂2
ϕ
(0, 0) · v2 ,
∂v2 adică, pe o vecinătate suficient de mică a punctului (0, 0), putem aproxima func¸tia
ϕ(u, v) cu func¸tia polinomială de grad doi
f(u, v) = 1
2 · k1(P ) · u 2 + k2(P ) · v 2 .
În concluzie, rezultă ceea ce aveam de demonstrat.
D¸T 12.5.1. Cuadrica
Σ ′ : z = 1
2 · k1(P ) · x 2 + k2(P ) · y 2
unde k1(P) ¸si k2(P) sunt curburile principale ale suprafe¸tei Σ în punctul P ∈ Σ,
se nume¸ste aproximarea pătratică a suprafe¸tei Σ în vecinătatea punctului P .
Interpretarea geometrică a semnului curburii totale (Gauss)
K(P) = k1(P ) · k2(P )
(1) Să presupunem că în punctul P ∈ Σ avem
K(P ) = k1(P) · k2(P ) > 0.
Atunci, rezultă că k1(P ) ¸si k2(P ) au acela¸si semn, adică aproximarea
pătratică a suprafe¸tei Σ în vecinătatea punctului P este paraboloidul
eliptic
Σ ′ : z = 1
2 · k1(P ) · x 2 + k2(P ) · y 2 .
De aceea, local, punctul P apare pe suprafa¸ta Σ ca un vârf.
Paraboloidul eliptic Σ ′