13IJq7Y

CAPITOLUL 10
CURBE PLANE
În acest capitol vom defini riguros curbele plane ¸si vom studia principalele proprietă¸ti
geometrice ale acestora. Totodată vom scoate în eviden¸tă o mărime scalară
(curbură) care ne va da informa¸tii asupra formei unei curbe plane. Pe parcursul
acestui capitol, prin aplica¸tie diferen¸tiabilă vom în¸telege o aplica¸tie netedă, adică
o aplica¸tie diferen¸tiabilă de o infinitate de ori pe un domeniu deschis, convenabil
ales, în sensul că acesta este inclus în domeniile de defini¸tie ale aplica¸tiei studiate
¸si derivatelor acesteia.
10.1. Defini¸tii ¸si exemple
D¸T 10.1.1. O aplica¸tie diferen¸tiabilă
c : I ⊂ R → R 2 ,
unde I este un interval real, definită prin
unde
se nume¸ste parametrizare regulată.
c(t) = (x(t), y(t)), ∀ t ∈ I,
(x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 = 0, ∀ t ∈ I,
D¸T 10.1.2. Variabila t ∈ I, care define¸ste parametrizarea regulată c(t),
se nume¸ste parametru.
D¸T 10.1.3. Mul¸timea de puncte din plan
Im c not
= {P (x(t), y(t)) | t ∈ I} ⊂ E2,
care reprezintă imaginea unei parametrizări regulate c(t), se nume¸ste curbă plană
parametrizată.
D¸T 10.1.4. O mul¸time nevidă C de puncte din plan cu proprietatea că
pentru fiecare punct M0(x0, y0) ∈ C există în R 2 o vecinătate V a punctului M0 ¸si
există o parametrizare regulată
astfel încât
se nume¸ste curbă plană.
c : I ⊂ R → R 2
C ∩ V = Im c
O¸T 10.1.1. Intuitiv vorbind, o mul¸time nevidă C de puncte din plan
este o curbă plană dacă într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct M0 ∈ C
curba plană poate fi identificată cu imaginea unei parametrizări regulate.
191