13IJq7Y

2.1. BAZE ¸SI DIMENSIUNI 21
E 2.1.4. Fie S = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} ⊆R R 3 .
Fie α, β, γ ∈ R astfel încât
αe1 + βe2 + γe3 = 0 R 3 ⇔ α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) = (0, 0, 0).
Deducem de aici că α = β = γ = 0. În concluzie, S este o mul¸time liniar independentă
în spa¸tiul vectorial RR 3 .
D¸T 2.1.4. O submul¸time B = {e1, e2, ..., en} ⊆K V se nume¸ste bază a
spa¸tiului vectorial KV dacă B este ¸si un sistem de generatori ¸si o submul¸time liniar
independentă în KV .
E 2.1.5. Submul¸timea B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este bază în
spa¸tiul vectorial RR 2 . Pentru a demonstra că B este un sistem de generatori, să
observăm că pentru orice vector (x, y) ∈ R 2 avem descompunerea naturală
(x, y) = xe1 + ye2 = x(1, 0) + y(0, 1).
Mai mult, considerând α, β ∈ R astfel încât
αe1 + βe2 = 0 R 2 ⇔ α(1, 0) + β(0, 1) = (0, 0),
deducem că α = β = 0, adică submul¸timea B este liniar independentă. În concluzie,
B este o bază în RR 2 numită baza canonică a lui RR 2 .
E 2.1.6. Submul¸timea B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}
este bază în spa¸tiul vectorial RR 3 . Aceasta este un sistem de generatori deoarece
avem
(x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3 = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), ∀ (x, y, z) ∈ R 3 .
Evident, luând α, β, γ ∈ R astfel încât
αe1 + βe2 + γe3 = 0 R 3 ⇔ α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) = (0, 0, 0),
deducem că α = β = γ = 0. Cu alte cuvinte, B este liniar independentă. În
concluzie, B este o bază în RR 3 numită baza canonică a lui RR 3 .
E 2.1.7. Submul¸timea B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X 2 } este bază în
spa¸tiul vectorial RR2[X]. Aceasta este un sistem de generatori deoarece orice polinom
de grad cel mult doi are expresia f = a · 1 + b · X + c · X 2 , unde a, b, c ∈ R. Evident,
luând α, β, γ ∈ R astfel încât
α · 1 + β · X + γ · X 2 = O,
deducem că α = β = γ = 0. Cu alte cuvinte, B este liniar independentă. În
concluzie, B este o bază în RR2[X] numită baza canonică a lui RR2[X].
E 2.1.8. Submul¸timea
1 0
0 1
B = e1 = , e2 =
0 0
0 0
0 0
, e3 =
1 0
0 0
, e4 =
0 1
este bază în spa¸tiul vectorial RM2(R). Pentru a demonstra că B este un sistem de
generatori, să observăm că avem descompunerea naturală
a b
= ae1 + be2 + ce3 + de4, ∀ a, b, c, d ∈ R.
c d
Mai mult, considerând α, β, γ, δ ∈ R astfel încât
αe1 + βe2 + γe3 + δe4 = 0 M2(R),