13IJq7Y

2.2. COORDONATE. SCHIMBĂRI DE COORDONATE 27
(3) MBB ′′ = MBB ′ · MB ′ B ′′.
D¸T. (1) Descompunerea elementelor bazei B în baza B se realizează
evident în felul următor:
⎧
e1 = 1 · e1 + 0 · e2 + ... + 0 · en,
e2 = 0 · e1 + 1 · e2 + ... + 0 · en,
⎪⎨ ·
⎪⎩
·
·
en = 0 · e1 + 0 · e2 + ... + 1 · en.
Rezultă ceea ce trebuia demonstrat.
(2) Să utilizăm următoarele nota¸tii formale:
⎛ ⎞ ⎛
⎜
e = ⎜
⎝
e1
e2
·
·
·
en
⎟ ¸si e
⎟
⎠
′ ⎜
= ⎜
⎝
Atunci, din defini¸tia matricii de trecere de la o bază la alta, avem adevărate următoarele
rela¸tii matriceale formale:
Acestea implică egalită¸tile
e ′ 1
e ′ 2
·
·
·
e ′ n
⎞
⎟ .
⎟
⎠
e ′ = T MBB ′ · e ¸si e = T MB ′ B · e ′ .
e ′ = T MBB ′ · T MB ′ B · e ′ ⇒ T MBB ′ · T MB ′ B = In.
Cu alte cuvinte, ob¸tinem ceea ce trebuia demonstrat:
unde
MBB ′ · MB ′ B = In ⇔ MB ′ B = M −1
BB ′.
(3) Următoarele rela¸tii matriceale formale sunt adevărate:
e ′ = T MBB ′ · e, e′′ = T MBB ′′ · e ¸si e′′ = T MB ′ B ′′ · e′ ,
Aceste rela¸tii implică egalită¸tile
⎛
e ′′ ⎜
= ⎜
⎝
e ′′
1
e ′′
2
·
·
·
e ′′ n
⎞
⎟ .
⎟
⎠
e ′′ = T MB ′ B ′′ · T MBB ′ · e ⇒ T MBB ′′ = T MB ′ B ′′ · T MBB ′,
adică ceea ce trebuia demonstrat.