13IJq7Y

2.1. BAZE ¸SI DIMENSIUNI 23
Aplicând acela¸si ra¸tionament pentru bazele B ′ ¸si B, deducem că n ′ ≥ n. În
concluzie, avem n = n ′ , adică ceea ce aveam de demonstrat.
D¸T 2.1.5. Fie B = {e1, e2, ..., en} o bază arbitrară finită a spa¸tiului vectorial
finit generat KV . Numărul elementelor din baza B se nume¸ste dimensiunea
spa¸tiului vectorial KV . Dimensiunea spa¸tiului vectorial KV se notează
dimK V = n ∈ N ∗ .
O¸T 2.1.2. Este important de subliniat că numărul natural n nu depinde
de alegerea bazei finite B deoarece, conform teoremei precedente, orice două
baze finite ale spa¸tiului vectorial finit generat KV au acela¸si număr de elemente.
E 2.1.9. Baza canonică în spa¸tiul vectorial RR 2 este
B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.
Prin urmare, dimensiunea acestui spa¸tiu vectorial este dimR R 2 = 2.
E 2.1.10. Baza canonică în spa¸tiul vectorial RR 3 este
B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}.
În concluzie, dimensiunea acestui spa¸tiu vectorial este dimR R 3 = 3.
E 2.1.11. Baza canonică în spa¸tiul vectorial RR2[X] este
B = {e1 = 1, e2 = X, e3 = X 2 }.
Deducem că dimensiunea acestui spa¸tiu vectorial este dimR R2[X] = 3.
E 2.1.12. Baza canonică în spa¸tiul vectorial RM2(R) este
1 0
0 1
0 0
0 0
B = e1 = , e2 = , e3 = , e4 =
0 0
0 0
1 0
0 1
Dimensiunea acestui spa¸tiu vectorial este dimR M2(R) = 4.
.
O¸T 2.1.3. Este important de remarcat faptul că dimensiunea unui
spa¸tiu vectorial real finit generat coincide cu numărul de variabile independente
care determină un vector arbitrar al spa¸tiului. Mai mult, baza canonică a spa¸tiului
vectorial se ob¸tine luând, pe rând, vectorii determina¸ti astfel: primul vector se
ob¸tine luând prima variabilă egală cu 1, restul variabilelor egale cu 0; al doilea
vector se ob¸tine luând a doua variabilă egală cu 1, celelalte variabile egale cu 0 ¸si
a¸sa mai departe.
E 2.1.13. Avem R 2 = {(x, y) | x, y ∈ R}. Deoarece un vector arbitrar
al spa¸tiului v = (x, y) este determinat de două variabile independente x ¸si y, rezultă
că dimR R 2 = 2. Cei doi vectori ai bazei canonice a spa¸tiului vectorial RR 2 se ob¸tin
luând x = 1 ¸si y = 0 pentru e1, respectiv x = 0 ¸si y = 1 pentru e2.
E 2.1.14. În spa¸tiul vectorial R 3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} un vector
arbitrar v = (x, y, z) este determinat de trei variabile independente x, y ¸si z, deci
dimR R 3 = 3. Cei trei vectori ai bazei canonice a spa¸tiului vectorial RR 3 se ob¸tin
luând pe rând: x = 1, y = z = 0 pentru e1, y = 1, x = z = 0 pentru e2 ¸si z = 1,
x = y = 0 pentru e3.