13IJq7Y

12 1. STRUCTURI ALGEBRICE
O¸T 1.2.2. Mai general, să considerăm că mul¸timea de vectori (V, +)
este grupul abelian (Mn(R), +), unde n ≥ 2, al matricilor pătratice de ordin n
împreună cu adunarea clasică a matricilor pătratice. Fixăm câmpul de scalari reali
(K, +, ·) = (R, +, ·). Definim înmul¸tirea vectorilor cu scalari reali ca fiind înmul¸tirea
standard a numerelor reale cu matricile pătratice. Atunci mul¸timea Mn(R) are o
structură de R-spa¸tiu vectorial, relativ la opera¸tiile de adunare a vectorilor ¸si de
înmul¸tire cu scalari definite anterior.
E 1.2.5. Să considerăm că mul¸timea de vectori (V, +) este grupul
abelian al polinoamelor de grad cel mult doi R2[X] împreună cu adunarea standard a
polinoamelor. Să considerăm câmpul de scalari reali (K, +, ·) = (R, +, ·). Înmul¸tirea
vectorilor cu scalari reali o definim ca fiind înmul¸tirea clasică a numerelor reale cu
polinoamele. Se ¸stie că această opera¸tie verifică cele patru proprietă¸ti axiomatice
de la spa¸tiile vectoriale. În concluzie, deducem că R2[X] este un spa¸tiu vectorial
real. Vectorul nul al acestui spa¸tiu vectorial este polinomul nul 0 R2[X] = O.
O¸T 1.2.3. Mai general, să considerăm că mul¸timea de vectori (V, +)
este grupul abelian (Rn[X], +), unde n ≥ 2, al polinoamelor de grad cel mult n
împreună cu adunarea standard a polinoamelor. Să considerăm câmpul de scalari
reali (K, +, ·) = (R, +, ·). Înmul¸tirea vectorilor cu scalari reali o definim ca fiind
înmul¸tirea clasică a numerelor reale cu polinoamele. Atunci mul¸timea Rn[X] are
o structură de R-spa¸tiu vectorial, relativ la opera¸tiile de adunare a vectorilor ¸si de
înmul¸tire cu scalari definite anterior.
E 1.2.6. Vom considera acum o mul¸time de vectori ¸si un câmp de
scalari, împreună cu ni¸ste opera¸tii, în raport cu care nu avem o structură algebrică
de spa¸tiu vectorial. Pentru aceasta să luăm ca mul¸time de vectori V mul¸timea
polinoamelor de grad mai mare sau egal cu patru
R 4 [X] = {f ∈ R[X] | grad(f) ≥ 4},
împreună cu adunarea vectorilor definită de adunarea clasică a polinoamelor. Luând
câmpul de scalari reali (K, +, ·) = (R, +, ·), definim înmul¸tirea vectorilor cu scalari
ca fiind înmul¸tirea standard a numerelor reale cu polinoamele. Evident, cele patru
proprietă¸ti de la spa¸tii vectoriale sunt adevărate. Cu toate acestea, mul¸timea
R 4 [X] nu este un R-spa¸tiu vectorial deoarece mul¸timea R 4 [X] nu are o structură de
grup abelian în raport cu adunarea vectorilor. În fapt, adunarea vectorilor, adică
adunarea polinoamelor, nu este bine definită pe R 4 [X]. Cu alte cuvinte, suma a
două polinoame de grad mai mare sau egal cu patru poate avea ca rezultat un polinom
de grad mai mic ca patru. De exemplu, polinomul f = X 4 + X 5 ∈ R 4 [X]
adunat cu polinomul g = X − X 4 − X 5 ∈ R 4 [X] are ca rezultat un polinom de grad
unu: f + g = X /∈ R 4 [X]. Prin urmare, R 4 [X] nu este un spa¸tiu vectorial real
relativ la opera¸tiile algebrice precizate mai sus.
Fie V un K-spa¸tiu vectorial al cărui vector nul este notat 0V . Să notăm cu 0
¸si 1 elementele neutre, relativ la opera¸tiile de adunare ¸si înmul¸tire din câmpul de
scalari K.
P¸T 1.2.1. În spa¸tiul vectorial KV următoarele proprietă¸ti sunt adevărate:
(1) 0 · v = 0V , ∀ v ∈ V ;