13IJq7Y

7.7. CLASIFICAREA IZOMETRICĂ A CONICELOR. REPREZENTARE GRAFICĂ 139
(5) Printr-o eventuală renumerotare, se aleg
e1 = (ξ 1, ξ 2) ¸si e2 = (η 1, η 2)
vectorii proprii ortonorma¸ti corespunzători valorilor proprii λ1 ¸si λ2 astfel
încât
det R = 1,
unde
R =
(6) Se efectuează rota¸tia x
y
ξ1 η 1
ξ 2 η 2
′ x
= R
y ′
în urma căreia ecua¸tia conicei Γ devine
.
Γ : λ1(x ′ ) 2 + λ2(y ′ ) 2 + 2a ′ 13x ′ + 2a ′ 23y ′ + a ′ 33 = 0,
unde a ′ 13, a ′ 23, a ′ 33 ∈ R.
(7) For¸tând factorii comuni λ1 ¸si λ2 (dacă este cazul) ¸si restrângând pătratele
descompuse, se rescrie ecua¸tia conicei Γ sub forma
unde x0, y0, a ∈ R.
Γ : λ1(x ′ + x0) 2 + λ2(y ′ + y0) 2 + a = 0,
(8) Se efectuează transla¸tia X = x ′ + x0
¸si se scrie ecua¸tia canonică
Y = y ′ + y0
Γ : λ1X 2 + λ2Y 2 + a = 0.
(9) Se trasează sistemul ini¸tial de axe xOy ¸si se efectuează rota¸tia acestuia în
sistemul de axe x ′ Oy ′ . Direc¸tiile ¸si sensurile axelor Ox ′ ¸si Oy ′ coincid cu
direc¸tiile ¸si sensurile vectorilor proprii ortonorma¸ti e1 ¸si e2.
(10) Se efectuează transla¸tia sistemului de axe x ′ Oy ′ în sistemul de axe XCY,
unde punctul C are coordonatele C(x0, y0).
(11) Se reprezintă grafic ecua¸tia canonică de la punctul (8) în ultimul sistem
de axe XCY.
O¸T 7.7.1. În unele aplica¸tii vom folosi nota¸tiile x ′′ = X ¸si y ′′ = Y.
O¸T 7.7.2. Dacă a12 = 0, atunci algoritmul de mai sus începe direct
de la punctul (7), adică se efectuează doar o transla¸tie.
O¸T 7.7.3. Dacă a ′ 13 = a ′ 23 = 0, atunci în algoritmul de mai sus se sar
punctele (7), (8) ¸si (10), adică se efectuează doar o rota¸tie.
O¸T 7.7.4. Dacă în algoritmul de mai sus nu se sare nici un pas, atunci
spunem că am aplicat metoda roto-transla¸tiei.