13IJq7Y

2.4. BAZE ORTONORMATE. COMPLEMENTE ORTOGONALE 37
Să calculăm acum normele vectorilor e ′ 1, e ′ 2 ¸si e ′ 3. Avem evident că
||e ′ 1
1|| = −1 dx = √ 2,
||e ′ 1
2|| = −1 x2
2
dx =
3 ,
||e ′ 3 || =
1
−1
x 2 − 1
3
2
dx =
8
45 .
Baza ortonormată ob¸tinută în urma procedeului Gramm-Schmidt este
unde
GS(B) = {f1, f2, f3},
f1 = 1
||e ′ 1 ||e′ 1 = 1
√ 2 ,
f2 = 1
||e ′ 2 ||e′ 2 =
f3 = 1
||e ′ 3 ||e′ 3 =
3
· X,
2
45
8 ·
X2 − 1
.
3
E 2.4.4. Utilizând procedeul de ortonormalizare Gramm-Schmidt, să
ortonormăm baza
B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}
în spa¸tiul euclidian (R 3 , ). Pentru aceasta, vom lua vectorul
Să considerăm acum vectorul
e ′ 1 = e1 = (1, 0, 0).
e ′ 2 = e2 + k21e ′ 1 = (1, 1, 0) + k21(1, 0, 0) = (1 + k21, 1, 0), k21 ∈ R,
unde constanta k21 o determinăm din următoarea condi¸tie de ortogonalitate:
< e ′ 2 , e′ 1 >= 0 ⇔< (1 + k21, 1, 0), (1, 0, 0) >= 0 ⇔ 1 + k21 = 0 ⇔ k21 = −1.
Prin urmare, avem
Să considerăm ¸si vectorul
e ′ 2
= (0, 1, 0).
e ′ 3 = e3 + k31e ′ 1 + k32e ′ 2 =
= (1, 1, 1) + k31(1, 0, 0) + k32(0, 1, 0) =
= (1 + k31, 1 + k32, 1), k31, k32 ∈ R,
unde constantele k31 ¸si k32 le determinăm din următoarele condi¸tii de ortogonalitate:
′ < e 3, e ′ 1 >= 0
< e ′ 3, e ′ 2 >= 0 ⇔
< (1 + k31, 1 + k32, 1), (1, 0, 0) >= 0
Prin urmare, avem
⇔
< (1 + k31, 1 + k32, 1), (0, 1, 0) >= 0 ⇔
1 + k31 = 0
1 + k32 = 0 ⇔
e ′ 3 = (0, 0, 1).
k31 = −1
k32 = −1.