13IJq7Y

254 12. SUPRAFE ¸TE
O¸T 12.4.4. De¸si endomorfismul LP : TP Σ → TP Σ, unde P = r(u, v) ∈
Σ este un endomorfism simetric, matricea LP = g −1
P ·bP nu este neapărat o matrice
simetrică. Acest fapt apare din cauză că matricea LP = g −1
P · bP este matricea în
baza neortonormată {ru, rv} ⊂ TP Σ a endomorfismului LP : TP Σ → TP Σ.
D¸T 12.4.5. Func¸tiile scalare k1,2 : Σ → R definite prin
P = r(u, v) ∈ Σ → k1,2(P ) def
=
H ± H2
− K (P )
se numesc curburile principale ale suprafe¸tei Σ = Im r.
O¸T 12.4.5. Din defini¸tiile curburilor principale rezultă imediat că următoarele
egalită¸ti sunt adevărate:
¸si
K(P ) = [k1 · k2] (P ), ∀ P ∈ Σ,
k1 + k2
H(P) = (P), ∀ P ∈ Σ.
2
O¸T 12.4.6. Este evident că curburile principale k1(P ) ¸si k2(P ) sunt
solu¸tiile ecua¸tiei caracteristice
k 2 − 2H(P)k + K(P ) = 0 ⇔ det [LP − k · I2] = 0.
Cu alte cuvinte, curburile principale k1(P ) ¸si k2(P ) sunt valorile proprii ale aplica¸tiei
Weingarten LP : TP Σ → TP Σ a cărei matrice în baza neortonormată
{ru, rv} ⊂ TP Σ
este matricea (nu neapărat simetrică!) LP = g −1
P · bP .
E 12.4.2. Să se calculeze curbura totală, curbura medie ¸si curburile
principale ale paraboloidului hiperbolic Σ = Im r, unde
Prin derivări par¸tiale ob¸tinem
Derivând în continuare, găsim
r : R 2 → R 3 , r(u, v) = (u, v, uv).
ru = (1, 0, v) ¸si rv = (0, 1, u).
ruu = (0, 0, 0), ruv = (0, 0, 1) ¸si rvv = (0, 0, 0).
Coeficien¸tii primei forme fundamentale sunt
E =< ru, ru >= 1 + v 2 , F =< ru, rv >= uv ¸si G =< rv, rv >= 1 + u 2 ,
adică prima formă fundamentală a paraboloidului hiperbolic Σ este
2 1 + v uv
g =
uv 1 + u2
.
Deoarece determinantul primei forme fundamentale este
det g = 1 + u 2 + v 2 > 0,
rezultă că inversa primei forme fundamentale a paraboloidului hiperbolic Σ este
g −1 1
=
1 + u2
2 1 + u −uv
·
+ v2 −uv 1 + v2
.