13IJq7Y

CAPITOLUL 2
GEOMETRIA SPA¸TIILOR VECTORIALE
Pe parcursul acestui capitol vom studia diverse no¸tiuni cu un puternic caracter
fizico-geometric. Ne referim, pe de-o parte, la no¸tiunile de bază a unui spa¸tiu
vectorial, dimensiune a unui spa¸tiu vectorial sau coordonate ale unui vector, no¸tiuni
aflate în strânsă legătură cu ideea gradelor de libertate ale unui spa¸tiu fizic. Pe de
altă parte, ne referim la no¸tiunea geometrică de spa¸tiu vectorial euclidian. Un astfel
de spa¸tiu este un spa¸tiu vectorial înzestrat cu o opera¸tie adi¸tională numită produs
scalar, opera¸tie care permite introducerea no¸tiunilor de lungime a unui vector sau
unghi format de doi vectori. Toate aceste no¸tiuni generalizează natural, în sens
matematic abstract, proprietă¸ti geometrice ¸si fizice deja utilizate.
2.1. Baze ¸si dimensiuni
Fie S = {e1, e2, ..., en} ⊆K V o submul¸time finită de vectori din K-spa¸tiul
vectorial V.
D¸T 2.1.1. Mul¸timea S = {e1, e2, ..., en} se nume¸ste sistem de generatori
pentru spa¸tiul vectorial KV dacă
L(S) = V.
D¸T 2.1.2. Dacă există în spa¸tiul vectorial KV un sistem de generatori
S cu un număr finit de vectori e1, e2, ..., en, atunci spa¸tiul vectorial KV se nume¸ste
spa¸tiu vectorial finit generat.
P¸T 2.1.1. Mul¸timea S = {e1, e2, ..., en} este un sistem de generatori
pentru spa¸tiul vectorial KV dacă ¸si numai dacă
∀ v ∈ V, ∃ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât v = α1e1 + α2e2 + ... + αnen.
D¸T. Să presupunem întâi că mul¸timea S = {e1, e2, ..., en} este
un sistem de generatori pentru spa¸tiul vectorial KV ¸si să luăm un vector arbitrar
v ∈ V = L(S). Atunci, din defini¸tia acoperirii liniare L(S), rezultă că
∃ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât v = α1e1 + α2e2 + ... + αnen,
adică proprietatea din propozi¸tie este adevărată.
Reciproc, să presupunem că proprietatea din propozi¸tie este adevărată ¸si să
luăm un vector arbitrar v ∈ V. Atunci
∃ α1, α2, ..., αn ∈ K astfel încât v = α1e1 + α2e2 + ... + αnen,
adică v ∈ L(S). Cu alte cuvinte, avem V ⊆ L(S). Deoarece este evident că întotdeauna
avem L(S) ⊆ V , rezultă că L(S) = V, adică mul¸timea S = {e1, e2, ..., en}
este un sistem de generatori pentru spa¸tiul vectorial KV.
19