Prediktering av tändpuls med hjälp av finita elementmetoden

Töjningens, {S}, samband med förskjutningen {u} och det elektriska fältets, {E},
samband med potentialen {v} beskrivs av
där
och
[ ]
{} S [ B ]{ u}
= (32)
{ E} −[ B ]{ v}
u
= (33)
v
⎡∂
0 0 ⎤
(34)
⎢ ∂x
⎥
⎢ 0 ∂ 0 ⎥
⎢
∂y
⎥
⎢ 0 0 ∂ ⎥
B = ⎢
∂z
u
⎥
⎢
∂ ∂ 0
∂y
∂x
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 ∂ ∂
∂z
∂y⎥
⎢
⎥
⎢
∂ 0 ∂
⎣ ∂z
∂x
⎥⎦
v
[ B ] = { N } T
v
⎧∂
⎫
⎪ x⎪
⎨
∂ ∂
∂y⎬
⎪ ⎪
⎪
∂
⎩ ∂z
⎪⎭
Den dynamiska jämvikten för ett element ges slutligen av
⎡
⎢
⎣
[ M ] [ ]
[] 0 [] 0
{} u&&
{} v&&
u
[ C ] [] 0
v
[] 0 [ C ]
{ u&
}
{} v&
z
[ K] [ K ]
z T d
[ K ] [ K ]
{ u}
{} v
⎧{ F}
⎨ ⎬ ⎫
⎩{ L} ⎭
(35)
0 ⎤⎧
⎫ ⎡ ⎤⎧
⎫ ⎡
⎤⎧
⎫
(36)
⎥⎨
⎬ + ⎢ ⎥⎨
⎬ + ⎢
⎥⎨
⎬ =
⎦⎩
⎭ ⎣ ⎦⎩
⎭ ⎣
⎦⎩
⎭
Prickarna symboliserar deriveringar med avseende på tid.
I ekvation (36) är
[M] = massmatrisen
[C u ] = dämpningsmatris
T
u u
[ M ] = ∫ ρ[ N ][ N ] d(vol)
vol
Nm N e
u
⎡⎛
m ξ ⎞ ⎤
[ C ] = α[ M ] + ( β + β
c
)[ K] + ∑ ⎢⎜
β
j
+ β
j ⎟[ K
j
] ⎥ + ∑[ Ck
] + [ Cξ
]
där
⎣⎝
j= 1
k = 1
α = multiplikationskonstant för massmatrisen
β = multiplikationskonstant för styvhetsmatrisen
β c = multiplikationsvariabel för styvhetsmatrisen
N m = Antal material med dämpning
Ω = vinkelfrekvens
(37)
2 (38)
Ω ⎠ ⎦
10