YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

38
300 ampulli hulgast, milles 85+75+95=255 on aegumata kemikaaliga,
võetakse juhuslikult üks ampull, tulemust.
P (A) = m n = 255
300
= 0, 85. □
8.8. Kolmes komplektis on tooteid tunnusega A ning tunnusega B. Ühes
komplektis on 2 toodet tunnusega A ning 3 toodet tunnusega B, teises
komplektis on vastavaid tooteid 3 ning 5 ja kolmandas komplektis 3
ning 7. Leiame tõenäosuse, et juhuslikust komplektist juhuslikult saadud
toode tunnusega A võeti teisest komplektist. Millisest komplektist võeti
toode tunnusega A kõige tõenäosemalt?
Lahendus. Soovitud tõenäosuslikud hinnangud saame Bayesi valemi kaudu.
Leiame kõigepealt tõenäosuse, et juhuslikult võetud toode on tunnusega
A - sündmus A. Hüpoteeside täielik süsteem on {H 1 , H 2 , H 3 }, kus
H i on hüpotees, et toode võeti i- ndast komplektist ja P (H 1 ) = P (H 2 ) =
= P (H 3 ) = 1. Samuti on teada P (A/H 3 1) = 2, P (A/H 5 2) = 3, P (A/H 8 3 =
= 3 . Täistõenäosuse valemi põhjal (vt. ülesanne 8.7.)
10
P (A) = 1 3 (0, 4 + 0, 375 + 0, 3) = 1 · 1, 075 = 0, 358(3).
3
Bayesi valemi kaudu saame iga hüpoteesi aposterioorse tõenäosuse pärast
sündmuse toimumist kui sündmuse vaadeldava hüpoteesiga toimumise
võimalikkuse osakaalu täistõenäosuses.
P (H 2 /A) = P (H 2) · P (A/H 2 )
P (A)
=
1
3
1
3
· 0, 375
≈ 0, 3488. □
· 1, 075
Enne sündmuse A toimumist olid kõik P (H i ) = 1 (i = 1, 2, 3). Et saada
3
vastus teisele küsimusele, leiame ka hüpoteeside H 1 ning H 3 tinglikud
tõenäosused pärast sündmuse A toimumist:
P (H 1 /A) = 0, 4
1, 075
≈ 0, 3721,
P (H 3 /A) = 0, 3 ≈ 0, 2791.
1, 075
Hüpoteeside ümberhinnatud tõenäosusi võrreldes näeme, et kõige tõenäosem
on hüpotees H 1 ehk toode tunnusega A võeti kõige tõenäosemalt
esimesest komplektist. □