YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

46
Lahendus. Liiklusõnnetuste arv päevas on juhuslik suurus X, millel on
Poissoni jaotus. Jaotuse parameeter λ on keskmine liiklusõnnetuste arv
meid huvitavas ajavahemikus. Sündmuse X ≥ 1, toimub vähemalt üks
liiklusõnnetus, asemel kasutame selle vastandsündmust X = 0, et ei
toimu ühtegi liiklusõnnetust.
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0),
kus P (X = m) = λm
m! e−λ ja λ = 2 · 3 = 6 7 7
päeva kohta.
on keskmine õnnetuste arv kahe
P (X ≥ 1) = 1 − ( 6 7 )0
0!
· e − 6 7 = 1 − e
− 6 7 ≈ 0, 576. □
8.17. Trollibussid sõidavad regulaarselt intervalliga 5 min. Üliõpilane
jõuab peatusse juhuslikul ajahetkel. Leiame tõenäosuse, et üliõpilasel ei
tule oodata kauem kui 2 min.; 0,5 min. Kui pikk on keskmine ooteaeg?
Lahendus. Trollibussi ootamise aeg X on lõigul [0,5] ühtlase jaotusega
juhuslik suurus. Selle jaotuse jaotusfunktsioon F (X) = x−0 = x, kui
5−0 5
x ∈ [0, 5]. Leiame sündmuste X ≤ 2 ja X ≤ 0, 5 tõenäosused
P (X ≤ 2) = P (X < 2) = F (2) = 2/5 = 0, 4,
P (X ≤ 0, 5) = P (X < 0, 5) = F (0, 5) = 0, 5/5 = 0, 1. □
Keskmine ooteaeg on ooteaja keskväärtus
EX = a + b
2
= 0 + 5
2
= 2, 5 min. □
8.18. Seadme garantiiaeg on 10 aastat. Leiame tõenäosuse, et rike
toimub esimese 5 aasta jooksul. Enne millist aega seade ei rikne tõenäosusega
0,95? Kui suur on tõenäosus, et seade rikneb ajavahemikus (5, 15)?
Lahendus. Seadme tõrketa tööaeg on eksponentjaotusega juhuslik suurus
T , mille jaotusfunktsioon
F (t) = 1 − e −λt ,