YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

48
Jaotustiheduse avaldame deltafunktsiooni kaudu.
∞∑
f(x) = 0, 4 · 0, 6 m−1 δ(x − m). □
m=1
Liikmeti kirjutatuna on nende funktsioonide avaldised
F (x) = 0, 4(1(x−1)+0, 6·1(x−2)+0, 6 2·1(x−3)+...+0, 6 n−1·1(x−n)+...),
f(x) = 0, 4(δ(x − 1) + 0, 6 · δ(x − 2) + ... + 0, 6 n−1 · δ(x − n) + ...).
Keskväärtuse ja dispersiooni leidmiseks kasutame juhusliku suuruse X
karakteristlikku funktsiooni
g(w) def.
= Ee iwX , w ∈ R.
Et juhuslikul suurusel e iwX on sama jaotus kui suurusel X, siis keskväärtuse
definitsioonist
∞∑
∑ ∞
g(w) = e iwm · 0, 4 · 0, 6 m−1 = 0, 4e iw (0, 6e iw ) m−1 =
m=1
m=1
= 0, 4e iw (1 + 0, 6e iw + (0, 6e iw ) 2 + (0, 6e iw ) 3 + ...) =
= [sulgudes on geomeetriline rida, mille esimene liige on 1 ja tegur
0, 6e iw < 1, sest|e iw | = 1] = 0, 4e iw ·
1 0, 4eiw
=
1 − 0, 6eiw 1 − 0, 6e . iw
Teame, et EX = 1 i g′ (0) ja DX = EX 2 − (EX) 2 = 1 i 2 g ′′ (0) − ( 1 i g′ (0)) 2 .
Leiame karakteristliku funktsiooni esimest ja teist järku tuletised kohal
w = 0.
g ′ (w) = d
dw
0, 4e iw
1 − 0, 6e iw = 0, 4eiw · i(1 − 0, 6e iw ) − 0, 4e iw (−0, 6e iw · i)
(1 − 0, 6e iw ) 2 =
=
0, 4ie iw
(1 − 0, 6e iw ) 2 ,
g ′′ (w) = 0, 4ieiw · i(1 − 0, 6e iw ) 2 − 0, 4ie iw · 2(1 − 0, 6e iw )(−0, 6e iw · i)
(1 − 0, 6e iw ) 4 =
EX = 1 i ·
= 0, 4i2 e iw (1 + 0, 6e iw )
.
(1 − 0, 6e iw )
0, 4ie 0
(1 − 0, 6e 0 ) = 0, 4
2 0, 4 = 1
2 0, 4
= 2, 5,