YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL 

Matemaatikainstituut 

TÕENÄOSUSTEOORIA JA 

MATEMAATILINE STATISTIKA 

Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele 

Tallinn 2005

2 

TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE 

STATISTIKA (YMR0070, YMR0110, YMR3720) 

1. Õppeaine maht 

YMR0070 4,0 AP 

YMR0110 2,0 AP 

YMR3720 1,5 AP 

2. Eeldusained 

YMM3740, YMM0012, YMA3710 

3. Õppeaine eesmärk 

Õppeaine eesmärk: 

• Süvendada teadmisi juhuslikkusest ja kujundada stohhastilist 

mõtlemisviisi. 

• Anda oskusi juhuslikkuses peituvate seaduspärasuste kirjeldamiseks 

matemaatilise analüüsi ja statistika meetodite abil. 

• Süvendada teadmisi ja oskusi katseandmete töötlemiseks. 

4. Põhiõpik 

1. Tammeraid I. Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. Tallinn, 

TTÜ kirjastus, 2004. 

2. Gurski J. Tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika elemendid. 

Tallinn, Valgus, 1986.

3 

5. Täiendav kirjandus 

1. Jõgi A. Tõenäosusteooria I. Tallinn, TTÜ kirjastus, 2000. 

2. Jõgi A. Tõenäosusteooria II. Tallinn, TTÜ kirjastus, 2000. 

3. Käerdi H. Statistika ja tõenäosusteooria alused. Tallinn, ERKA, 1997. 

4. Lõhmus A., Petersen I., Roos H. Kõrgema matemaatika ülesannete 

kogu. Tallinn, Valgus, 1982. 

6. Õppeaine programm 

Järgnevalt loetletakse teemad, mis tuleb üliõpilastel omandada. Teemad 

ja küsimused, mis on märgitud tärniga, kuuluvad ainult õppeaine 

YMR0070 programmi. Iga teema järel on antud leheküljed põhiõpikutest, 

kus antud teemat käsitletakse. Õppeaines YMR0070 on põhiõpikuks [1], 

mille korral lehekülgede ees on T.(I.Tammeraid). Õppeainetes YMR0110 

ja YMR3720 on põhiõpikuks [2], mille korral lehekülgede ees on 

G.(J.Gurski), aga kasutada võib ka täiendavas kirjanduses antud õppevahendit 

[3], mille korral lehekülgede ees on K.(H.Käerdi). 

6.1. Juhuslikud sündmused ja tehted sündmustega (T. lk.7,8; 

G. lk.7-15; K. lk.7,8). 

Katse. Elementaarsündmuste ruum. Sündmus ja vastandsündmus. Sündmuste 

summa ja korrutis. 

6.2. Sündmuse sagedus ja tõenäosus (T. lk.8-18; G. lk.15-26; 

K. lk.8-15). 

Sündmuse sageduse mõiste ja omadused. Sündmuse tõenäosuse statistiline, 

klassikaline ja geomeetriline tõlgendus. Tõenäosuse aksioomid.

4 

6.3. Tõenäosuste korrutamisteoreem (lause) ja liitmisteoreem 

(lause) (T. lk.18-24; G. lk.27-35; K. lk.15-19). 

Sündmuste sõltuvus. Tinglik tõenäosus. Tõenäosuste korrutamisteoreem 

(lause). Sündmuste välistavus. Tõenäosuste liitmisteoreem (lause). 

6.4. Täistõenäosus ja Bayesi valem (T. lk.24-29; G. lk.35-38; 

K. lk.19-22). 

Hüpoteeside täissüsteem. Täistõenäosuse mõiste ja valem. Bayesi valem. 

6.5. Bernoulli valem (T. lk.29-32; G. lk.38-43; K. lk.23-25). 

Korduvate katsete seeria (Bernoulli skeem). Bernoulli valem. Sündmuse 

tõenäoseim esiletulekute arv n-katselises seerias. 

6.6. Juhuslik suurus, selle jaotus, jaotusfunktsioon (T. lk.40-45; 

G. lk.47-56; K. lk.26-31). 

Diskreetne ja pidev juhuslik suurus. Juhusliku suuruse jaotusseadus. 

Jaotusfunktsiooni definitsioon ja omadused. Jaotusfunktsiooni graafik. 

Heaviside’i funktsioon*. 

6.7. Jaotustihedus (T. lk.45-50; G. lk.56-61; K. lk.31-33). 

Keskmine tõenäosus. Jaotustihedus ehk tihedusfunktsioon. Jaotuskõver. 

Tõenäosuse element. Jaotustiheduse omadused. Deltafunktsioon*. 

6.8. Juhusliku suuruse keskväärtus ja dispersioon (T. lk.50-60; 

G. lk.61-70; K. lk.33-40). 

Juhusliku suuruse keskväärtus, selle omadused. Juhusliku suuruse hälve, 

dispersioon ja standardhälve. Dispersiooni omadused.

6.9. Juhusliku suuruse momendid. Juhusliku suuruse karakteristlik 

funktsioon (T. lk.60-73; G. lk.70-72, 162-167; K. lk.41). 

Alg- ja keskmomendid. Asümmeetriakordaja, ekstsess, entroopia, mood, 

mediaan, kvantiilid. Juhusliku suuruse karakteristlik funktsioon.* 

5 

6.10. Diskreetse juhusliku suuruse jaotused (T. lk.43-45, 50, 52, 

58, 59, 70, 71; G. lk.72-80; K. lk.42-48). 

Binoomjaotus, Poissoni jaotus, geomeetriline jaotus. Nende jaotuste jaotusseadused 

ja põhilised arvkarakteristikud. 

6.11. Pideva juhusliku suuruse eksponentjaotus ja ühtlane jaotus 

(T. lk.46, 47, 51, 58, 66, 69; G. lk.80-85; K. lk.48-51). 

Eksponentjaotuse ja ühtlase jaotuse mõiste, jaotustihedus, jaotusfunktsioon, 

keskväärtus, dispersioon, karakteristlik funktsioon.* 

6.12. Normaaljaotus (T. lk.47, 48, 51, 59, 60, 72, 73, 78-81; G. lk.86- 

92; K. lk.52-57). 

Normaaljaotuse mõiste, jaotustihedus, jaotusfunktsioon, keskväärtus ja 

dispersioon. Lihtne (standardiseeritud) normaaljaotus. Laplace’i funktsioon. 

Normaaljaotusega juhusliku suuruse väärtuse antud vahemikku 

sattumise tõenäosus. 

6.13. Piirteoreemid (T. lk.82-90; G. lk.170-182, K. lk.58-64). 

Tŝebõŝovi ja Bernoulli teoreemid. Tsentraalne piirteoreem. Moivre’i- 

Laplace’i lokaalne ja integraalne teoreem. 

6.14. Juhusliku vektori jaotusfunktsioon (T. lk.99-104; G. lk.96- 

101; K. lk.96). 

Juhusliku vektori mõiste, jaotusseadus. Juhusliku vektori jaotusfunktsiooni 

mõiste ja omadused.

6 

6.15. Juhusliku vektori jaotustihedus (T. lk.104-113; G. lk.101-112; 

K. lk.96, 97). 

Juhusliku vektori jaotustiheduse (tihedusfunktsiooni) mõiste. Jaotuspind 

ja tõenäosuse element. Jaotustiheduse omadused. Juhusliku vektori 

koordinaatide marginaalsed ja tinglikud jaotustihedused. Regressiooni 

mõiste. Sõltuvad ja sõltumatud juhuslikud suurused. 

6.16. Juhusliku vektori arvkarakteristikud(T. lk.113-126; G. lk.113- 

120; K. lk.98-103). 

Kahemõõtmelise vektori alg- ja keskmomendid. Jaotuskese (hajuvuskeskpunkt). 

Juhuslike suuruste kovariatsiooni ning korrelatsioonikordaja 

mõiste ja omadused. Juhuslike suuruste korreleeruvus. 

6.17. Juhusliku vektori normaaljaotus (T. lk.126-128; G. lk.120- 

128). 

Jaotustihedus. Hajuvusellipsid. Seos koordinaatide korreleeruvuse ja 

sõltuvuse vahel. 

6.18. Juhusliku argumendiga funktsioon (T. lk.128-136; G. lk.133- 

138, 146-156).* 

Juhusliku argumendiga funktsiooni jaotusseadus. Juhusliku argumendiga 

funktsiooni keskväärtus ja dispersioon. Teoreemid juhuslike argumentidega 

funktsiooni keskväärtuse ja dispersiooni kohta. 

6.19. Juhusliku funktsiooni jaotus (T. lk.156-158; G. lk.184-186).* 

Juhusliku funktsiooni mõiste, jaotusfunktsioon ja jaotustihedus.

7 

6.20. Juhusliku funktsiooni karakteristikud (T. lk.158-163; 

G. lk.187-192).* 

Juhusliku funktsiooni keskväärtus, dispersioon, kovariatsiooni- ja korrelatsioonifunktsioonid. 

6.21. Tehted juhuslike funktsioonidega (T. lk.163-169; G. lk.197- 

203).* 

Juhusliku funktsiooni korrutamine kindla (mittejuhusliku) funktsiooniga. 

Juhuslike funktsioonide liitmine. Juhusliku funktsiooni diferentseerimine 

ja integreerimine. 

6.22. Keerukama juhusliku funktsiooni esitamine lihtsamate 

juhuslike funktsioonide kaudu (T. lk.170-179; G. lk.204-223).* 

Juhuslik elementaarfunktsioon. Juhusliku funktsiooni kanooniline arendus. 

Statsionaarne juhuslik funktsioon. Statsionaarse juhusliku funktsiooni 

spektraalarendus. 

6.23. Empiiriline jaotus (T. lk.187-191; G. lk.255-260; K. lk.65-68). 

Matemaatilise statistika aine. Vaatlusandmed. Üldkogum ja valim. Valimiandmete 

esitusviisid: statistiline rida, sagedustabel, histogramm, empiiriline 

jaotusfunktsioon. Empiirilised arvkarakteristikud. 

6.24. Jaotusparameetrite (arvkarakteristikute) punkthinnangud 

(T. lk.192-206; G. lk.261-269, 275-277; K. lk.68-71). 

Punkthinnangu mõiste ja omadused. Keskväärtuse ja dispersiooni nihutamata 

hinnangud. Kovariatsiooni ja korrelatsioonikordaja punkthinnangud.

8 

6.25. Jaotusparameetrite (arvkarakteristikute) vahemikhinnangud 

(T. lk.207-211, 137-145; G. lk.269-274; K. lk.71-82). 

Usaldusnivoo, usaldusvahemik, usalduspiirid. Keskväärtuse usaldusvahemik. 

Studenti jaotus (t-jaotus). Dispersiooni usaldusvahemik. Hiiruut-jaotus 

(χ 2 -jaotus). 

6.26. Hüpoteeside statistiline kontrollimine (T. lk.211-221, 145- 

148; G. lk.284-293; K. lk.85-95). 

Ülesande püstitamine. Nullhüpotees ja konkureeriv hüpotees. Hüpotees 

kahe jaotuse dispersioonide võrdsusest. Fisheri jaotus (F-jaotus). Hüpotees 

kahe jaotuse keskväärtuste võrdsusest. 

6.27. Vähimruutude meetod (T. lk.222-228; G. lk.282-284; K. lk.103- 

110, 113). 

Empiirilise sõltuvuse silumine. Valitud analüütilise lähendfunktsiooni 

kordajate määramine vähimruutude meetodil. Lineaarse regressioonivõrrandi 

kordajate leidmine. Parima mudeli valik. 

7. Tüüpülesanded 

Üliõpilane peab oskama lahendada järgmisi ülesandeid ja nendele sisult 

lähedasi ülesandeid. Soovitav on need ülesanded iseseisvalt ära lahendada. 

Kui ülesandele sarnane ülesanne on lahendatud põhiõpikus näitena 

(lühend T või G), siis on sulgudes lisatud viide sellele. Kui ülesandele sarnane 

ülesanne on lahendatud antud juhendi kaheksandas punktis näitena 

(lühend J), siis on sulgudes lisatud viide sellele. 

7.1. Arvude moodustamiseks võib kasutada numbreid 1,2,3,4 ja 5, seda 

ka korduvalt. Leidke, mitu järgmist naturaalarvu saab neist moodustada: 

1) viiekohalisi üldse kokku, 2) viiekohalisi, milles tüvenumbrid ei kordu, 

3) kolmekohalisi, milles tüvenumbrid ei kordu, 4) kolmekohalisi, milles 

tüvenumbrid võivad korduda, 5) kolmekohalisi, milles tüvenumbrid on 

kasvavas järjekorras. (J 8.1., st juhendi Näidisülesanne 8.1.)

7.2. Arvude moodustamiseks saab kasutada numbreid 1,2,3,4,5, seda 

ka korduvalt. Leidke tõenäosus, et 1) juhuslik neljakohaline naturaalarv 

jagub neljaga, 2) juhuslikus viiekohalises naturaalarvus on kaks ühesugust 

tüvenumbrit ja kõik ülejäänud on erinevad. (J 8.2.) 

7.3. Kahe sündmuse A ning B korral on teada, et P (A) = 0, 8, P (B) = 

= 0, 6 ja P (AB) = 0, 5. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosused: 1) 

A + B, 2) A/B, 3) B/A, 4) A ¯B, 5) ĀB, 6) A + ¯B, 7) AB, 8) Ā · ¯B, 9) 

A + B, 10) ¯B/Ā. (G 1.9.2, st põhiõpiku 2 paragrahv 1.9. Näide 2) 

7.4. Laos on 5 agregaati tüüpi A ning 7 agregaati tüüpi B. Nende 

pakendid ei erine. Märgistust vaatamata võetakse juhuslikult 6 agregaati. 

Leidke tõenäosus, et neist 2 on tüüpi A. (T 1.5.3, st põhiõpiku 1 

punkti 1.5 Näide 3) 

7.5. Komplektis on 6 defektiga ja 14 kvaliteetset seadet. Komplektist 

võetakse juhuslikult 4 seadet. Leidke tõenäosus, et võetutest 1) täpselt 

3 on kvaliteetsed, 2) vähemalt üks on kvaliteetne, 3) vähem kui 2 on 

defektiga. (T 1.5.3, J 8.4) 

7.6. Laboris olevast 15 mõõturist 12 on põrutuskindlad. Leidke tõenäosus, 

et seitsmest juhuslikult võetud mõõturist 5 on põrutuskindlad. (T 1.5.3, 

G 1.7.1) 

7.7. Koostajal on 7 esimest, 5 teist ja 10 kolmandat tüüpi seadme sõlme, 

mis väliselt ei erine. Leidke tõenäosus, et juhuslikult võetud 8 sõlme hulgas 

on 1 esimest, 4 teist ja 3 kolmandat tüüpi seadme sõlme. (T 1.5.3, 

G 1.7.1) 

7.8. Sündmus võib toimuda kolmel vaadeldaval ajavahemikul sõltumatult 

tõenäosusega 0,56, 0,42 või 0,61. Leidke tõenäosus, et sündmus 1) toimub 

vähemalt kahel ajavahemikul, 2) ei toimu ühelgi ajavahemikul. (T 1.7.2, 

G 1.9.1, G 1.9.2) 

7.9. Kolmes urnis on valgeid ja musti kuule vastavalt 2 ja 4, 6 ja 2 ning 

4 ja 8. Kahest juhuslikult valitud urnist võetakse mõlemast juhuslikult 

üks kuul. Leidke tõenäosus, et mõlemad kuulid on valged. (T 1.7.2, J 8.4) 

7.10. Ettevõttest helistatakse kolmele varustajafirmale vajaliku seadme 

saamiseks. Kui suur on seadme kohese saamise tõenäosus, kui varusta- 

9

10 

jatel on see seade olemas tõenäosusega 0,7; 0,65 ja 0,55? (J 8.5, T 1.7.3, 

G 1.9.2) 

7.11. Saabunud toodetest 35% on kvaliteetsed tõenäosusega 0,88, 25% 

tõenäosusega 0,80 ning ülejäänud on kvaliteetsed tõenäosusega 0,91. Leidke 

tõenäosus, et juhuslikult võetud toode on kvaliteetne. (J 8.7, T 1.8.1, 

G 1.10.1) 

7.12. Operaatori teenindatavatest seadmetest vajavad vahetuse jooksul 

reguleerimist 4 seadet tõenäosusega 0,18 ja 8 seadet tõenäosusega 0,12. 

Leidke tõenäosus, et üks nendest seadmetest vajab vahetuse jooksul remonti. 

(J 8.7, T 1.8.1, G 1.10.1) 

7.13. On 8 mõõteriista. Neist täpse mõõtmistulemuse saamise tõenäosus 

on neljal mõõteriistal 0,4, kolmel mõõteriistal 0,6 ja ühel mõõteriistal 0,8. 

Leidke tõenäosus, et juhuslikult võetud mõõteriistaga saadakse täpne 

mõõtmistulemus. (J 8.8, T 1.8.2, G 1.10.1) 

7.14. Keemilisse puhastusse antud 15 ülikonnast 6 vajavad üldpuhastust, 

teised eritöötlust. Leidke tõenäosus, et juhuslikul võtmisel teisena võetud 

ülikond vajab üldpuhastust. (J 8.7, T 1.8.1, G 1.10.1) 

7.15. Laoplatsi valgustatakse kuue prožektoriga, millest 4 on tüüpi A 

ja 2 tüüpi B. Ühe kuu jooksul tuleb lampe vahetada A-tüüpi prožektoril 

tõenäosusega 0,22 ja B-tüüpi prožektoril tõenäosusega 0,16. Leidke tõenäosus, 

et ühel prožektoril tuleb kuu jooksul lampe vahetada. (J 8.7, 

T 1.8.1, 1.10.1) 

7.16. Ühes grupis on 3 vasaku- ja 7 paremakäelist ning teises grupis 2 

vasaku- ja 10 paremakäelist inimest. Ühest grupist saadeti informeerimisele 

juhuslikult üks inimene, kes osutus vasakukäeliseks. Leidke tõenäosus, 

et see inimene saadeti esimesest grupist. (J 8.8, T 1.8.3, G 1.11.1) 

7.17. Elektroonikaseadmete tootja saab põhisõlme kolmelt firmalt suhtes 

15:80:5. Defektse põhisõlme tõenäosus nende toodangus on vastavalt 1%, 

1,5% ja 2,5%. Tootja kontrollib juhuslikku põhisõlme ja avastab defekti. 

Kui suure tõenäosusega see oli teiselt firmalt? (J 8.8, T 1.8.3, G 1.11.1) 

7.18. Merepiiri lõiku jälgib 2 A-tüüpi ja üks B-tüüpi radar. Signaali 

tabamise tõenäosus A-tüüpi radariga on 0,9 ning B-tüüpi radariga 0,87.

Signaali tabas üks radar. Leidke tõenäosus, et see oli B-tüüpi radar. 

(J 8.8, T 1.8.3, G 1.11.1) 

7.19. Hooldusgrupp teenindab 20 alajaama, millest igaüks võib nädala 

jooksul vajada hooldust tõenäosusega 0,18. Leidke tõenäosus, et nädala 

jooksul vajab hooldust kaks alajaama. (J 8.9, T 1.9.1, G 1.12.1) 

7.20. Antud tiraaži mistahes raamatul võib olla köitedefekt tõenäosusega 

0,12. Leida kõige tõenäosem defektiga köidete arv tellitud 30 raamatu 

hulgas ja vastav tõenäosus. (J 8.9, T 1.9.2, G 1.13.1) 

7.21. Eeldatakse, et 10% loodavatest väikefirmadest lakkab aasta jooksul 

olemast. Leidke tõenäosus, et kaheksast sellisest firmast lakkab aasta 

jooksul olemast kaks või kolm. (J 8.10, T 1.9.1, G 1.1.3) 

7.22. On 5 monitori, millest üks on varjatud defektiga. Monitore kontrollitakse 

kuni defektiga monitori eraldamiseni, kusjuures iga kontrollitud 

monitor pannakse kõrvale. Olgu X kontrollitud monitoride arv. 

Leidke juhusliku suuruse X jaotusseadus, F (x) analüütiliselt ja graafiliselt, 

f(x), g(w), EX, DX, σ ja P (X ≤ 3). (J 8.19, T 2.2.1, 2.6.2, 

G 2.2.1) 

7.23. Signaali edastatakse 4 korda. Selle vastuvõtmise tõenäosus igal 

edastamisel on 0,8. Olgu X vastu võetud signaalide arv. Leidke suuruse 

X jaotusseadus, F (x) analüütiliselt ja graafiliselt, f(x), g(w), EX, DX, 

σ ja P (X < 3). (J 8.19, T 2.1.1, 2.6.2, G 4.9.1) 

7.24. Signaali korratakse kuni selle vastuvõtmiseni. Signaali vastuvõtmise 

tõenäosus igal kordamisel on 0,6. Olgu X kordamiste arv signaali vastuvõtmiseni 

(see kaasa arvatud). Leidke juhusliku suuruse X jaotusseadus, 

F (x) analüütiliselt, f(x), EX, DX, σ, F (2, 5) ja P (X > 3). (J 8.12, 

T 2.1.1, G 2.3.1) 

7.25. Leidke vähim signaali kordamiste arv ülesande 7.24 tingimustel, 

mille korral signaali vastuvõtmise tõenäosus oleks väiksem kui 10 −3 . 

(J 8.12) 

7.26. Antud marki ventilaatoritest 65% on väga kvaliteetsed. Büroosse 

osteti 4 sellist ventilaatorit. Leidke väga kvaliteetsete ventilaatorite arvu 

X jaotusseadus, kõige tõenäosem arv m, tõenäosus P (X ≥ m) ja F (x) 

11

12 

analüütiliselt. (J 8.12, T 2.1.1, G 2.3.1) 

7.27. Süsteemis on 1000 sõltumatut elementi, millest igaüks võib rikneda 

aja t jooksul tõenäosusega 0,002. Leidke aja t jooksul riknevate elementide 

arvu X jaotusseadus, EX, DX ja tõenäosus, et aja t jooksul rikneb: 

1) 5 elementi; 2) kas või 1 element; 3) vähem kui 3 elementi. (J 8.15, 

T 2.1.3, 2.4.3, G 2.8.3) 

7.28. Parklasse siseneb keskmiselt 2 autot minutis. Leidke tõenäosus, 

et juhusliku minuti jooksul siseneb parklasse: 1) 4 autot; 2) 4 või enam 

autot; 3) vähem kui 4 autot. (J 8.16, T 2.1.3, G 2.8.2) 

7.29. Tootjalt, kelle toodangust 98% on kvaliteetne, tellitakse 300 toodet. 

Leidke praaktoodete arvu keskväärtus tellitud partii korral ja tõenäosus, 

et praaktooteid on 1%. (J 8.15, T 2.1.2, G 2.7.1) 

7.30. Teenindusettevõtet külastab 10 tunni jooksul keskmiselt 120 inimest. 

Leidke tõenäosus, et ühes tunnis külastab seda ettevõtet: 1) 25 

inimest; 2) 13 kuni 15 inimest; 3) tõenäoseim arv inimesi. (J 8.16, 

T 2.1.3, G 2.8.1) 

7.31. Seadmes tekib keskmiselt 7 tõrget 5000 töötunni jooksul. Leidke 

keskmine aeg tõrkeni ja tõenäosus, et tõrge tekib 100 töötunni jooksul. 

(J 8.18, G 2.10.1) 

7.32. Televiisori tööaeg on eksponentjaotusega. Televiisori keskmine 

tööaeg on 5500 tundi. Leidke tõenäosus, et televiisor töötab tõrgeteta: 

1) vähem kui 500 tundi; 2) vähemalt 5000 tundi. (J 8.18, G 2.10.1) 

7.33. Normaalrežiimis on trafo keskmine tööiga 10 aastat. Leidke tõenäosus, 

et trafo rikneb: 1) esimese 5 aasta jooksul; 2) kümnenda tööaasta 

jooksul. Kui kaua vähemalt peaks trafo rikketa töötama, et rikke tõenäosus 

oleks väiksem kui 0,05. (J 8.18, G 2.10.1) 

7.34. Liinibussi liiklusintervall pealelõunal on 10 minutit. Leidke bussipeatusse 

saabunu ooteaja T jaotustihedus f(t), g(w), ET, DT ning 

tõenäosus, et peatusse saabunud reisijal tuleb bussi oodata: 1) vähem 

kui 3 minutit; 2) kauem kui 8 minutit; 3) 2 kuni 7 minutit. (J 8.17, 

T 2.2.1, 2.6.1)

13 

7.35. Juhusliku suuruse X jaotustihedus 

{ 

0, x ∉ [1, 2], 

f(x) = 

2(x − 1), x ∈ [1, 2]. 

Leidke F (x), EX, DX, σ, P (1, 5 < X < 1, 75), P (X ≥ 1, 25), esitage 

f(x) ja F (x) graafiliselt. (J 8.14, T 2.2.1, G 2.4.1) 

7.36. Juhusliku suuruse X jaotustihedus on 

{ 

0, x ≥ 0, 

f(x) = 

2 x ln2, x < 0. 

Leidke F (x), EX, DX, σ, F (−1), P (−2 ≤ X < −1), esitage f(x) ja 

F (x) graafiliselt. (J 8.14, G 2.4.1) 

7.37. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsioon on 

⎧ 

0, x ≤ 0, 

⎪⎨ 

0, 5x 3 , 0 < x ≤ 1, 

F (x) = 

1 − 0, 5(2 − x) 

⎪⎩ 

3 , 1 < x ≤ 2, 

1, x > 2. 

Leidke jaotustihedus f(x), EX, DX, σ, P (0 < X < 0, 5), esitage f(x) 

ja F (x) graafikud. (J 8.14, G 2.4.1) 

7.38. Mõõtmisviga allub normaaljaotusele. Vea keskväärtus on 5 ja standardhälve 

10 ühikut. Leidke tõenäosus, et mõõtmistulemused erinevad 

mõõdetava suuruse tegelikust väärtusest vähem kui 15 ühiku võrra. 

(J 8.20, T 2.8.4, G 2.12.1) 

7.39. Normaaljaotusega juhusliku suuruse X keskväärtus on 2,5. Tõenäosus, 

et |X − 2, 5| < 0, 4, on 0,689. Leidke standardhälve σ. (T 2.8.4) 

7.40. Juhuslik suurus X on normaaljaotusega, EX = 1, 5 ja σ = 2, 2. 

Leidke EX suhtes sümmeetriline vahemik, kuhu suuruse X väärtused 

satuvad tõenäosusega 0,99. (T 2.8.4, G 2.12.2) 

7.41. Varasemate andmete põhjal eeldame, et aastane sademete hulk 

Eestis X on normaaljaotusega, EX = 116, 9cm ja σ = 3, 42cm. Leidke

14 

tõenäosus, et kolme järjestikuse aasta jooksul ühel aastal sademete hulk 

on suurem kui 127cm. (J 8.20) 

7.42. Firma personaliosakonnas testitakse töölesoovijaid. Kandidaatidelt 

nõutakse vähemalt 500-punktilist testitulemust. Leidke, mitu protsenti 

kandidaatidest jääb konkureerima, kui testitulemusel X on normaaljaotus, 

mille EX = 485 ja σ = 30. (J 8.20, T 2.8.3) 

7.43. Tõenäosus, et üliõpilane ei oska integreerida, on 0,15. Leidke 

tõenäosus, et kontrolltööd kirjutanud 175 üliõpilasest ei oska integreerida: 

1) 33 üliõpilast; 2) 20 kuni 40 üliõpilast. (J 8.21, T 2.12.2, 2.12.3) 

7.44. Mitu kiipi tuleks kontrollida, et tõenäosusega 0,99 kvaliteetsete 

kiipide suhteline sagedus m erineks tõenäosusest 0,95 vähem kui 0,05? 

n 

Kuidas muutub kontrollitavate kiipide arv, kui see erinevus peab olema 

väiksem kui 0,005? (J 8.22) 

7.45. Partiis on 1000 helikandjat. Tõenäosus, et neist suvaline on defektiga, 

on 0,02. Leidke tõenäosus, et defektiga helikandjaid on partiis 

vähem kui 20. (J 8.23, T 2.12.2) 

7.46. Diskreetse juhusliku vektori (X, Y ) jaotusseadus on antud jaotustabeliga 

y k 

\ x i 

0 1 2 

2 0,3 0 0,2 

3 0,1 0,2 0,2 

. 

Leidke F (x, y), f(x, y), f 1 (x), f 2 (y), EX, EY, DX, DY, σ x , σ y , 

cov(X, Y ), r(X, Y ), kovariatsioonimaatriks K ja korrelatsioonimaatriks 

R. Kas selle vektori komponendid on sõltuvad, korreleeruvad? (J 8.24, 

T 3.1.1, 3.2.3, 3.4.2) 

7.47. Urnis on 2 musta ja 3 valget kuuli. Urnist võetakse juhuslikult 

kaks kuuli. Olgu X-võetud mustade kuulide arv ja Y -võetud 

valgete kuulide arv. Leidke vektori (X, Y ) jaotusseadus, f(x, y), EX, 

EY, DX, DY, σ x , σ y , cov(X, Y ), r(X, Y ). Kas selle vektori komponendid 

on sõltuvad, korreleeruvad? Leidke regressioonijooned y = E(Y/x)

15 

ja x = E(X/y). (J 8.24, T 3.2.3, 3.4.2) 

7.48. Olgu juhuslik vektor (X, Y ) ühtlase jaotusega ristkülikus, mis on 

määratud võrratustega 0 ≤ x ≤ 2 ja −1 ≤ y ≤ 2. Leidke f(x, y), f 1 (x), 

f 2 (y), EX, EY, DX, DY, σ x , σ y , cov(X, Y ). Kas komponendid X ja 

Y on sõltuvad, korreleeruvad? (J 8.25, T 3.2.1, 3.5.1, G 3.6.1) 

7.49. Kas 

f(x, y) = 

{ 

0, 5(x − xy + y), (x, y) ∈ [0, 2] × [0, 1], 

0, (x, y) ∉ [0, 2] × [0, 1], 

on vektori (X,Y) jaotustihedus? Leidke f 1 (x), f 2 (y), f(y/x), EX, EY, 

DX, DY, σ x , σ y , cov(X, Y ), r(X, Y ), E(Y/x), K, R. Kas selle vektori 

komponendid on sõltuvad, korreleeruvad? (J 8.25, T 3.2.1, 3.3.2, 3.5.1, 

3.5.2, G 3.6.2) 

7.50. On antud juhusliku suuruse X jaotustihedus 

f 1 (x) = 

{ 

2x, x ∈ [0, 1], 

0, x ∉ [0, 1] 

ja Y = √ X. Leidke f 2 (y), f(x, y), EY. (J 8.28, T 3.7.2, G 4.1.1) 

7.51. On antud juhusliku suuruse X jaotustihedus 

f 1 (x) = 

{ 

ln x, x ∈ [1, e], 

0, x ∉ [1, e] 

ja Y = ln X. Leidke f 2 (y), f(y/x), EY. (J 8.28, T 3.7.2, G 4.1.1)

16 

7.52. Juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega lõigul [0, π ] ja Y = tan X. 

4 

Leidke f 1 (x), f 2 (y), f(x, y), EX, EY, cov(X, Y ). Kas vektori (X, Y ) 

komponendid on sõltuvad, korreleeruvad? (J 8.28, T 3.7.1, G 4.1.1) 

7.53. Juhusliku vektori (X, Y ) arvkarakteristikud on EX = 5, EY = 

= −3, DX = 4, DY = 1 ja cov(X, Y ) = −1. Leidke juhuslike suuruste 

U = X + Y ja V = XY keskväärtused ning DU. (J 8.29) 

7.54. Juhusliku vektori (X, Y, Z) kovariatsioonimaatriks on 

⎛ 

4 −1 

⎞ 

0 

K = ⎝ 3 0, 5⎠ . 

1 

Leidke korrelatsioonimaatriks R, juhusliku suuruse U = X + 2Y − 3Z+ 

+1 dispersioon ning avaldage EU keskväärtuste EX, EY, EZ kaudu. 

(J 8.29) 

7.55. Juhusliku vektori (X, Y ) korral on EX = 3, DX = 2, Y = 4 − X. 

Leidke EY, DY, cov(X, Y ), r(X, Y ). Kas suurused X ja Y on sõltuvad, 

korreleeruvad? (J 8.29) 

7.56. Juhusliku vektori (X, Y, Z) arvkarakteristikutest EX = 2, 5, DX = 

= 2, 25, EY = 3, 2, DY = 1, 21 ja cov(X, Y ) = 0, 8. Leidke suuruse 

Z = X 2 + XY keskväärtus ja r(X, Y ). (J 8.29) 

7.57. Juhuslik funktsioon X(t) = Y e −t , kus t > 0 ja juhuslikul suurusel 

Y on ühtlane jaotus lõigul [0, 3]. Leidke F 1 (x; t), f 1 (x; t), E x (t), K x (t 1 , t 2 ), 

D x (t) ja R x (t 1 , t 2 ). (J 8.30, T 4.1.5, 4.2.1) 

7.58. Juhuslik funktsioon X(t) = tU, kus juhuslikul suurusel U on eksponentjaotus 

parameetriga λ = 2. Leidke F 1 (x; t), f 1 (x; t), E x (t), D x (t), 

K x (t 1 , t 2 ) ja R x (t 1 , t 2 ). (J 8.30, T 4.1.5, 4.2.1) 

7.59. Leidke juhusliku funktsiooni X(t) = cos t + X 1 + X 2 t karakteristikud 

E x (t), K x (t 1 , t 2 ), D x (t), σ x (t) ja R x (t 1 , t 2 ), kui EX 1 = 1, EX 2 = 

= −3, DX 1 = 4, DX 2 = 1 ning juhuslikud suurused X 1 ja X 2 on 

sõltumatud. (J 8.31, T 4.2.1) 

7.60. Olgu X(t) = cos t + Ut + V sin t. Leidke E x (t), K x (t 1 , t 2 ) ja D x (t) 

ning arvutage nende väärtused lõike t = 0 korral, kui EU = 0, EV =

17 

= 2, DU = 4, DV = 9 ja cov(U, V ) = −3. (J 8.30c, T 4.2.1, 4.2.2) 

7.61. Leidke juhusliku funktsiooni Y (t) = 3tX(t) karakteristikud E y (t), 

K y (t 1 , t 2 ), D y (t) ja R y (t 1 , t 2 ), kui E x (t) = 2t + 1 ning K x (t 1 , t 2 ) = 

cos t 1 cos t 2 . (J 8.31, T 4.3.2.1) 

7.62. Leidke juhusliku funktsiooni Y (t) = tX(t) + sin t karakteristikud 

E y (t), K y (t 1 , t 2 ), σ y (t), R y (t 1 , t 2 ), kui E x (t) = cos t ja K x (t 1 , t 2 ) = t 2 1 ·t 2 2. 

(J 8.31, T 4.3.2.1) 

7.63. Juhusliku funktsiooni X(t) karakteristikud E x (t) = e t ja 

K x (t 1 , t 2 ) = sin ωt 1 sin ωt 2 . Leidke juhusliku funktsiooni Y (t) = 1 t 

karakteristikud E y (t), K y (t 1 , t 2 ), D y (t), σ y (t) ja R y (t 1 , t 2 ). (J 8.32, 

T 4.3.4.1, G 6.8.2) 

dX(t) 

dt 

+t 

7.64. Juhusliku funktsiooni X(t) kovariatsioon on K x (t 1 , t 2 ) = exp(t 2 1+ 

+t 2 2). Leidke K y (t 1 , t 2 ), D y (t) ja σ y (t), kui Y (t) = tX ′ (t). (J 8.32, 

T 4.3.4.1) 

7.65. Juhusliku funktsiooni karakteristikud E x (t) = 1 ja K x (t 1 , t 2 ) = 

= exp α(t 1 + t 2 ). Leidke juhusliku funktsiooni Y (t) = tX ′ (t) + 1 karakteristikud. 

(J 8.32, T 4.3.4.1) 

7.66. Olgu Y (t) = t ∫ t 

0 X(τ)dτ ja K x(t 1 , t 2 ) = t 1 + t 2 + t 1 t 2 . Leidke 

K y (t 1 , t 2 ), D y (t), σ y (t) ja R y (t 1 , t 2 ). (J 8.33, T 4.3.3.1, G 6.8.3) 

7.67. Juhusliku funktsiooni X(t) karakteristikud EX(t) = αe t ja 

K x (t 1 , t 2 ) = (t 1 t 2 )e t 1 

e t 2 

. Leidke juhusliku funktsiooni Y (t) = ∫ t 

X(τ)dτ+ 

0 

+t keskväärtus, kovariatsioon ja dispersioon. (J 8.33, T 4.3.3.1, G 6.8.3) 

7.68. Olgu X(t) = e t + U cos ωt + V sin ωt, kus U ja V on tsentreeritud 

mittekorreleeruvad juhuslikud suurused ning DU = DV = 4. Leidke 

E x (t), K x (t 1 , t 2 ) ja D x (t). Kas X(t) on statsionaarne? (J 8.34, T 4.4.1, 

4.5.1) 

7.69. Olgu X(t) = 3 + U 1 cos ωt + V 1 sin ωt + U 2 cos 2ωt + V 2 sin 2ωt, kus 

U 1 , V 1 , U 2 , V 2 on mittekorreleeruvad tsentreeritud juhuslikud suurused 

ja DU 1 = DV 1 = 4, DU 2 = DV 2 = 9. Leidke E x (t), K x (t 1 , t 2 ), D x (t). 

Kas X(t) on statsionaarne? (J 8.34, T 4.5.1)

18 

7.70. Juhuslik funktsioon X(t) = t 2 + U cos 3t + V sin 3t, kus U ja V on 

tsentreeritud juhuslikud suurused, mille kovariatsioonimaatriks on 

( ) 4 −1, 5 

. 

4 

Leidke E x (t), K x (t 1 , t 2 ), D x (t). Kas X(t) on statsionaarne? (J 8.34, 

T 4.2.2) 

7.71. Juhusliku funktsiooni X(t) kanooniline arendus on X(t) = sin t+ 

+X 1 t + X 2 cos t + X 3 sin t, kus DX 1 = 1, DX 2 = DX 3 = 3. Leidke 

E x (t), K x (t 1 , t 2 ), D x (t) ning E x (t) ja D x (t) väärtused argumendi 

väärtusel t = π . (J 8.34, T 4.5.1) 

2 

7.72. Juhusliku suuruse X kolmeteistkümne sõltumatu mõõtmise tulemusel 

saadi väärtuste statistiline rida: 7, 1, 11, 7, 11, 3, 11, 1, 2, 21, 1, 

11, 10. Esitage mõõtmistulemused sagedustabelina, leidke EX ja DX 

nihutamata hinnangud ning leidke tõke, millest selle juhusliku suuruse 

väärtused on väiksemad tõenäosusega 0,75; 0,95. (J 8.35, T 5.2.1.1, 

5.2.2.1, G 7.7, 7.9) 

7.73. Juhusliku suuruse X mõõtmisel saadi saja sõltumatu mõõtmistulemuse 

keskmiseks 115,52. Standardhälve σ = 10 on teada. Leidke suuruse 

X keskväärtuse usaldusvahemik usaldusnivool 0,99. (J 8.35, T 5.3.1.1, 

G 7.9) 

7.74. Juhuslikul suurusel on normaaljaotus. Dispersioon DX = 4 on 

teada. Leidke tõenäosus, et 25 mõõtmistulemuse põhjal arvutatud ¯x erineb 

keskväärtusest EX rohkem kui 0,8 võrra. (J 8.35, T 5.3.1.1, G 7.9) 

7.75. Suuruse X mõõtmistulemuste statistiline rida on: 2,85, 2,70, 2,90, 

2,85, 2,90, 2,85, 3,20, 2,90, 2,90, 3,25, 2,70. Korrastada valim sagedustabelina 

ning leida EX, DX, σ nihutamata hinnangud ja usaldusvahemikud 

usaldusnivool 0,98. (J 8.35, T 5.3.2.1, 5.3.3.3) 

7.76. Vektori (X, Y ) üheksa sõltumatu mõõtmise tulemuseks saadi valim 

{(2,4;4,5), (5,5;7,7), (4,1;6,1), (1,8;4,3), (3,7;5,6), (2,9;5,2), (5,6;6,4), 

(1,5;3,9), (3,2;5,2)}. Leidke komponentide X ja Y kovariatsiooni ning 

korrelatsioonikordaja nihutamata punkthinnangud. (J 8.35, T 5.2.4.1)

7.77. Leidke ülesande 7.76. andmetel suuruse Y lineaarne regressioonijoon 

X suhtes (regressioonisirge võrrand). (J 8.35, T 5.5.1) 

7.78. Juhuslik suurus X allub normaaljaotusele. Mõõtmiste tulemusena 

saadi valim {78,5, 74,3, 104,3, 87,6, 95,9, 109,2, 102,7, 72,5, 93,1, 115,9, 

83,8, 113,3, 109,4}. Leidke tõke, millest selle suuruse väärtus on suurem 

tõenäosusega 0,25. (L.P.R. II lk. 555) 

7.79. On antud kahe normaaljaotusega juhusliku suuruse X ja Y valimid 

{15, 18, 11, 20, 17, 9} ning {15, 13, 12, 12, 13, 14, 12}. Kontrollige 

usaldusnivool 0,99 hüpoteesi, et dispersioonid DX ja DY on võrdsed. 

(J 8.36, T 5.4.3.1) 

7.80. Ülesande 7.79. andmetel kontrollige usaldusnivool 0,99 ja 0,95 

hüpoteesi, et keskväärtused EX ning EY on võrdsed. (J 8.36, T 5.4.1.1) 

19 

Vastused 

7.1. 3125, 120, 60, 125, 10. 

7.2. 0,2, 0,384. 

7.3. 0,9, 0,8(3); 0,625, 0,3 0,1, 0,9, 0,5, 0,1, 0,1, 0,5. 

7.4. 175 

462 

≈ 0, 379. 

7.5. 2184 ≈ 0, 451, 4830 

≈ 0, 997, 3185 

4845 4845 4845 

7.6. 0,369. 

7.7. 

25200 

319770 

≈ 0, 013. 

7.8. 0,546, 0,0995. 

7.9. 11 

18 

≈ 0, 611. 

7.10. 0,953. 

7.11. 0,872. 

≈ 0, 657.

20 

7.12. 0,14. 

7.13. 0,525. 

7.14. 0,4. 

7.15. 0,2. 

7.16. 

9 

14 

7.17. 0,813. 

7.18. 0,659. 

7.19. 0,173. 

≈ 0, 643. 

7.20. 3, 0,222. 

7.21. 0,178. 

7.22. 

x k 1 2 3 4 5 

p k 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 , 

EX = 3, DX = 2, σ = √ 2 ≈ 1, 4, P (X ≤ 3) = 0, 6, 

F (x) = 0, 2 · 1(x − 1) + 0, 2 · 1(x − 2) + 0, 2 · 1(x − 3)+ 

+0, 2 · 1(x − 4) + 0, 2 · 1(x − 5) = 

⎧ 

0, x ≤ 1, 

0, 2, 1 < x ≤ 2, 

5∑ 

⎪⎨ 

0, 4, 2 < x ≤ 3, 

= 0, 2 · 1(x − k) = 

0, 6, 3 < x ≤ 4, 

k=1 

0, 8, 4 < x ≤ 5, 

⎪⎩ 

1, x > 5,

21 

F (x) 

✻ 

1 

✛ 

✛ 

0, 6 

✛ 

✛ 

0, 2 

O 

1 

✛ 

2 

3 

4 

5 

✲ 

x 

5∑ 

f(x) = 0, 2 · δ(x − k), g(ω) = 0, 2(e iω + e 2iω + e 3iω + e 4iω + e 5iω ) = 

k=1 

5∑ 

= 0, 2 e ikω . 

k=1 

7.23. 

x k 0 1 2 3 4 

p k 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096 , 

F (x) = 0, 0016 · 1(x) + 0, 0256 · 1(x − 1) + 0, 1536 · 1(x − 2)+ 

+0, 4096 · 1(x − 3) + 0, 4096 · 1(x − 4) = 

⎧ 

0, x ≤ 0, 

0, 0016, 0 < x ≤ 1, 

⎪⎨ 

0, 0272, 1 < x ≤ 2, 

= 

0, 1808, 2 < x ≤ 3, 

0, 5904, 3 < x ≤ 4, 

⎪⎩ 

1, x > 4,

22 

F (x) 

✻ 

1 

✛ 

✛ 

✛ 

O 

✛ 

1 

2 

✛ 

3 

4 

✲ 

5 

x 

f(x) = 0, 016 δ(x) + 0, 0256 δ(x − 1) + 0, 1536 δ(x − 2)+ 

+0, 4096 δ(x − 3) + 0, 4096 δ(x − 4), 

g(ω) = 0, 016 + 0, 0256e iω + 0, 1536e 2iω + 0, 4096e 3iω + 0, 4096e 4iω = 

= (0, 8e iω + 0, 2) 4 , 

EX = 3, 2, DX = 0, 64, σ = 0, 8, P (X < 3) = 0, 1808. 

7.24. 

x k 1 2 3 ... n ... 

p k 0,6 0,24 0,096 ... 0, 6 · 0, 4 n−1 ... 

, 

EX = 1 

0, 6 

0, 4 

= 1, (6), DX = = 1, (1), σ ≈ 1, 05, 

0, 62 F (x) = 0, 6 · 1(x − 1) + 0, 24 · 1(x − 2) + 0, 096 · 1(x − 3) + ...+ 

∞∑ 

+0, 6 · 0, 4 n−1 · 1(x − n) + ... = 0, 6 · 0, 4 k−1 · 1(x − k), 

f(x) = 0, 6 · 

k=1 

∞∑ 

0, 4 k−1 δ(x − k), F (2, 5) = 0, 84, 

k=1 

P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 0, 064.

23 

7.25. 8. 

7.26. 

x k 0 1 2 3 4 

p k 0,0150 0,1115 0,3105 0,3845 0,1785 , 

3, P (x ≥ 3) = 0, 563, 

F (x) = 0, 0150 · 1(x) + 0, 1115 · 1(x − 1) + 0, 3105 · 1(x − 2)+ 

+0, 3845 · 1(x − 3) + 0, 1785 · 1(x − 4). 

7.27. 

P (X = k) = 2 k · e−2 

, EX = DX = 2, P (X = 5) = 0, 036, 

k! 

P (X ≥ 1) = 1 − e −2 ≈ 0, 865, P (X < 3) = 5e −2 ≈ 0, 676. 

7.28. 

2 

3 e 2 ≈ 0, 09, 1 − 19 

3 e 2 ≈ 0, 143, 0, 857. 

7.29. EX = 6 (DX = 5, 88 ≈ EX), P (x = 3) ≈ 36 

e 6 ≈ 0, 089. 

7.30. P (X = 25) ≈ 0, 0003, P ((X = 13) + (X = 14) + (X = 15)) ≈ 

≈ 0, 268, P (X = 11) = P (X = 2) ≈ 0, 114. 

7.31. 714,3 töötundi, 1 − e −0,14 ≈ 0, 131. 

7.32. 1 − exp(− 1 

10 

) ≈ 0, 087, exp(− ) ≈ 0, 403. 

11 11 

7.33. ≈ 0, 393, P (9 ≤ T < 10) ≈ 0, 038, 30 aastat.

24 

7.34. 

f(t) = 0, 1, kui t ∈ [0, 10] ja on 0 mujal, g(ω) = 0, 1(e10ωi − 1) 

, 

ωi 

ET = 5, DT = 25 = 8, (3), 0, 2, 0, 5. 

3 

7.35. 

⎧ 

⎪⎨ 0, x ≤ 1, 

F (x) = (x − 1) 

⎪⎩ 

2 , 1 < x ≤ 2, 

1, x > 2 

F (x) = (x − 1) 2 (1(x − 1) − 1(x − 2)) + 1(x − 2), EX = 5 3 , DX = 1 18 , 

σ ≈ 0, 24, 

5 

16 = 0, 3125, 15 

16 

= 0, 9375 

f(x) 

✻ 

2 

F (x) 

✻ 

1 

O 

1 

2 

✲ 

x 

O 

1 

2 

✲ 

x 

7.36. 

F (x) = 

{ 

2 x , x ≤ 0, 

1, x > 0, 

EX = −1, DX ≈ 3, 16, σ ≈ 1, 8, F (−1) = 0, 5, 

P (−2 ≤ X < −1) = 0, 25

25 

f(x) 

✻ 

1 

1 

F (x) 

✻ 

−2 

−1 

O 

✲ 

x 

−2 

−1 

O 

✲ 

x 

7.37. 

⎧ 

⎪⎨ 0, x ∉ [0, 2], 

f(x) = 1, 5x 

⎪⎩ 

2 , x ∈ [0, 1], 

1, 5(2 − x) 2 , x ∈ (1, 2], 

EX = 1, DX = 0, 1, σ ≈ 0, 316, P (0 < X < 0, 5) = 0, 0625 

f(x) 

✻ 

1, 5 

F (x) 

✻ 

1 

O 1 2 

✲ 

x 

O 

1 2 

✲ 

x 

7.38. 0,866. 

7.39. σ ≈ 0, 4. 

7.40. ε ≈ 5, 7, −4, 2 < X < 7, 2. 

7.41. ≈ 4, 7 · 10 −3 . 

7.42. P (X ≥ 500) ≈ 0, 308, seega ≈ 31%.

26 

7.43. P (X = 33) ≈ 0, 030, P (20 ≤ X ≤ 40) ≈ 0, 905. 

7.44. n ≥ 127, n ≥ 12608 (suureneb ligikaudu 100 korda). 

7.45. ≈ 0, 411. 

7.46. 

F (x, y) = 0, 3 · 1(x)1(y − 2) + 0, 1 · 1(x)1(y − 3)+ 

+0, 2 · 1(x − 1)1(y − 3) + 0, 2 · 1(x − 2)1(y − 2) + 0, 2 · 1(x − 2)1(y − 3), 

f(x, y) = 0, 3·δ(x)·δ(y −2)+0, 1·δ(x)·δ(y −3)+0, 2·δ(x−1)·δ(y −3)+ 

+0, 2 · δ(x − 2) · δ(y − 2) + 0, 2 · δ(x − 2) · δ(y − 3), 

f 1 (x) = 0, 4 · δ(x) + 0, 2 · δ(x − 1) + 0, 4 · δ(x − 2), 

f 2 (y) = 0, 5 · δ(x − 2) + 0, 5 · δ(x − 3), 

EX = 1, EY = 2, 5, DX = 0, 8, DY = 0, 25, 

σ x ≈ 0, 9, σ y = 0, 5, cov(X, Y ) = 0, 1, 

K = 

( ) 0, 8 0, 1 

, R = 

0, 25 

( ) 1 0, (2) 

, 

1 

r(X, Y ) ≈ 0, (2), korreleeruvad. 

7.47. 

y k 

\ x i 

0 1 2 

2 6/20 0 0 

1 0 12/20 0 

0 0 0 2/20 

F (x, y) = 6 20 

12 

2 

· 1(x)1(y − 2) + · 1(x − 1)1(y − 1) + · 1(x − 2)1(y), 

20 20 

f(x, y) = 6 

12 

2 

· δ(x)δ(y − 2) + · δ(x − 1)δ(y − 1) + · δ(x − 2)δ(y), 

20 20 20 

f 1 (x) = 6 12 

2 

· 1(x) + · 1(x − 1) + · 1(x − 2), 

20 20 20

27 

f 2 (y) = 2 12 · 1(y) + 

20 20 · 1(y − 1) + 6 · 1(y − 2), 

20 

EX = 0, 8, EY = 1, 2, DX = DY = 0, 36, σ x = σ y = 0, 6, 

cov(X, Y ) = −0, 36, r(X, Y ) = −1, sõltuvad, korreleeruvad, 

⎧ 

⎪⎨ 2, x = 0, 

y = 1, x = 1, 

⎪⎩ 

0, x = 2, 

⎧ 

⎪⎨ 2, y = 0, 

x = 1, y = 1, 

⎪⎩ 

0, y = 2. 

7.48. 

f 1 (x) = 

f(x, y) = 

{ 

1 

, (x, y) ∈ [0, 2] × [−1, 2], 

6 

0, (x, y) ∉ [0, 2] × [−1, 2], 

{ 

0, 5, x ∈ [0, 2], 

0, x ∉ [0, 2], 

f 2 (y) = 

{ 

1 

, y ∈ [−1, 2], 

3 

0, y ∉ [−1, 2], 

EX = 1, EY = 0, 5, DX = 0, 25, DY = 0, 75, σ x = 0, 5, 

σ y = 

√ 

3 

2 

≈ 0, 87, cov(X, Y ) = 0, sõltumatud, mittekorreleeruvad. 

7.49. 0n, 

f 1 (x) = 

{ 

0, 25(x + 1), x ∈ [0, 2], 

0, x ∉ [0, 2], 

f(y/x) = 

f 2 (y) = 

{ 

1, y ∈ [0, 1], 

{ 

2(x − xy + y)/(x + 1), x ∈ [0, 2], 

0, x ∉ [0, 2], 

0, y ∉ [0, 1], 

EX = 7 11 

, EY = 0, 5, DX = 

6 36 , DY = 1 

12 , σ x = 

√ 

11 

6 

≈ 0, 55, 

σ y = 

√ 

3 

6 

≈ 0, 29, cov(X, Y ) = − 

1 

36 , r(X, Y ) = − 1 √ 

33 

≈ −0, 174,

28 

K = 

y = 

( 11/36 −1/36 

1/12 

{ (x+2) 

, x ∈ [0, 2], 

3(x+1) 

0, x ∉ [0, 2], 

) 

, R = 

( √ ) 

1 −1/ 33 

. 

1 

7.50. 

{ 

4y 3 , y ∈ [0, 1], 

f 2 (y) = 

0, y ∉ [0, 1], 

{ 

2xδ(y − √ x), (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], 

fx, y) = 

0, (x, y) ∉ [0, 1] × [0, 1], 

EY = 0, 8. 

7.51. 

f 2 (y) = 

{ 

ye y , y ∈ [0, 1], 

0, y ∉ [0, 1], 

f(y/x) = δ(y − ln x), EY = e − 2 ≈ 0, 72. 

7.52. 

f 1 (x) = 

{ { 

4 , x ∈ [0, π], 

4 

, y ∈ [0, 1], 

π 4 π(1+y 

0, x ∉ [0, π], f 2 (y) = 

2 ) 

4 

0, y ∉ [0, 1], 

f(x, y) = 

{ 

4 

π δ(y − tan x), x ∈ [0, π 4 ], 

0, x ∉ [0, π 4 ],

29 

EX = π 8 , EY = 4 π · ln √ 2 ≈ 0, 44, sõltuvad, korreleeruvad. 

7.53. EU = 2, EV = −16, DU = 3. 

7.54. 

⎛ 

1 −1/2 √ ⎞ 

3 0 

R = ⎝ 1 1/ √ 3⎠ , 

1 

DU = 15, EU = EX + 2EY − 3EZ + 1. 

7.55. EY = 1, DY = 2, cov(X, Y ) = −2, r(X, Y ) = −1, sõltuvad, 

korreleeruvad. 

7.56. EZ = 17, 3, r(X, Y ) = 0, (48). 

7.57. 

⎧ 

⎪⎨ 0, x < 0, 

1 

F 1 (x; t) = 

3 ⎪⎩ 

· x(et − 1), 0 ≤ x ≤ 3e −t , 

1, x ≥ 3e −t , 

f 1 (x; t) = 

{ 

0, x < 0 ∨ x > 3e −t , 

1 · 3 (et − 1), 0 ≤ x ≤ 3e −t , 

7.58. 

F 1 (x; t) = 

E x (t) = 1, 5e −t , K x (t 1 , t 2 ) = 0, 75e −t 1−t 2 

, 

D x (t) = 0, 75e −2t , R x (t 1 , t 2 ) = 1. 

{ 

0, x < 0, 

0, 5(1 − exp(−2x/t)), x ≥ 0, (t > 0), 

f 1 (x; t) = 

{ 

0, x < 0, 

1 

exp(−2x/t), x ≥ 0, 

t

30 

E x (t) = 0, 5t, D x (t) = 0, 25t 2 , K x (t 1 , t 2 ) = 0, 25t 1 t 2 , R x (t 1 , t 2 ) = 1. 

7.59. 

E x (t) = cos t+1−3t, K x (t 1 , t 2 ) = 4+t 1 t 2 , D x (t) = 4+t 2 , σ x (t) = √ 4 + t 2 , 

R x (t 1 , t 2 ) = 

4 + t 1 t 2 

√ 

(4 + t 

2 

1 )(4 + t 2 2) . 

7.60. 

E x (t) = cos t + 2 sin t, E x (0) = 1, K x (t 1 , t 2 ) = 

= 4t 1 t 2 + 9 sin t 1 sin t 2 − 3(t 1 sin t 2 + t 2 sin t 1 ), 

D x (t) = 4t 2 + 9 sin 2 t − 6t sin t, D x (0) = 0. 

7.61. 

E y (t) = 6t 2 + 3t, K y (t 1 , t 2 ) = 9t 1 t 2 cos t 1 cos t 2 , 

D y (t) = 9t 2 cos 2 t, R y (t 1 , t 2 ) = 1. 

7.62. 

E y (t) = t cos t + sin t, K y (t 1 , t 2 ) = t 3 1t 3 2, σ y (t) = t 3 , R y (t 1 , t 2 ) = 1. 

7.63. 

E y (t) = et 

t , K y(t 1 , t 2 ) = ( ω2 

t 1 t 2 

) cos ωt 1 cos ωt 2 , D y (t) = ( ω2 

t 2 ) cos2 ωt, 

σ y (t) = ( ω t ) cos ωt, R y(t 1 , t 2 ) = sign (t 1 t 2 ). 

7.64. 

K y (t 1 , t 2 ) = 4t 2 1t 2 2 exp(t 2 1 + t 2 2), D y (t) = 4t 4 exp(2t 2 ), σ y (t) = 2t 2 exp t 2 .

31 

7.65. 

E y (t) = 1, K y (t 1 , t 2 ) = α 2 t 1 t 2 exp α(t 1 + t 2 ), D y (t) = α 2 t 2 exp(2αt), 

σ y (t) = αt exp(αt), R y (t 1 , t 2 ) = 1. 

7.66. 

K y (t 1 , t 2 ) = 0, 25t 2 1t 2 2(2t 1 + 2t 2 + t 1 t 2 ), D y (t) = 0, 25t 5 (4 + t), 

σ y (t) = 0, 5t 2√ t(4 + t), R y (t 1 , t 2 ) = 

2t 1 + 2t 2 + t 1 t 2 

√ 

t1 (4 + t 1 ) · √t 

2 (4 + t 2 ) . 

7.67. 

E y (t) = α(e t − 1) + t, K y (t 1 , t 2 ) = (1 − e t 1 

+ t 1 e t 1 

)(1 − e t 2 

+ t 2 e t 2 

), 

D y (t) = (1 − e t + te t ) 2 . 

7.68. 

E x (t) = e t , K x (t 1 , t 2 ) = 4 cos(ω(t 2 − t 1 )), D x (t) = 4, 

X(t) ei ole statsionaarne. 

7.69. 

E x (t) = 3, K x (t 1 , t 2 ) = 4 cos(ω(t 2 − t 1 )) + 9 cos(2ω(t 2 − t 1 )), 

D x (t) = 13, on statsionaarne. 

7.70. 

E x (t) = t 2 , K x (t 1 , t 2 ) = 4 cos 3(t 1 − t 2 ) − 3 sin 3(t 1 + t 2 ),

32 

D x (t) = 4 − 3 sin 6t, ei ole statsionaarne. 

7.71. 

7.72. 

E x (t) = sin t, K x (t 1 , t 2 ) = t 1 t 2 + 3 cos(t 1 − t 2 ), 

D x (t) = t 2 + 3, E x ( π 2 ) = 1, D x( π 2 ) = (π2 4 ) + 3. 

x i 1 2 3 7 10 11 21 

m i 3 1 1 2 1 4 1 

¯x ≈ 7, 5, s 2 ≈ 34, 6, s ≈ 5, 88, x 0,75 = 11, 6, x 0,95 = 18, 0. 

7.73. EX ∈ (112, 9; 118, 1) = l 0,99 . 

7.74. 1 − 0, 9544 ≈ 0, 044. 

7.75. 

x k 2,70 2,85 2,90 3,20 3,25 

m k 2 3 4 1 1 

¯x ≈ 2, 91, s 2 ≈ 0, 033, s ≈ 0, 182, EX ∈ (2, 76; 3, 06), 

DX ∈ (0, 014; 0, 129), σ ∈ (0, 12; 0, 36). 

7.76. cov ∗ (X, Y ) = K ∗ x,y = 1, 6533, r ∗ x,y ≈ 0, 953 (tugev korrelatiivne 

seos). 

7.77. y = 2, 821 + 0, 765x. 

7.78. P (X > x α ) = 1 − P (X < x α ) = 0, 75, x 0,75 = 105, 8. 

7.79. H 0 : DX = DY, F arvutuslik = 13, 5, F 0,995; 5,6 = 11, 5, kehtib 

hüpotees H 1 : DX ≠ DY ehk X ja Y dispersioonid ei ole võrdsed.

7.80. H 0 : EX = EY, t arvutuslik = 1, 204, t 0,995; 11 = 3, 106, t 0,975; 11 = 

= 2, 201, seega mõlema usaldusnivoo korral nullhüpotees, et keskväärtused 

EX ja EY on võrdsed ei ole vastuolus valimiandmetega. 

33 

8. Näidisülesandeid koos lahendustega 

8.1. Vaatame katset, et visatakse kolm korda järjest münti (või korraga 

kolme münti). Sündmuseks on mingi vappide ja kirjade kombinatsiooni 

esiletulek. Selgitame, mis on sellisel katsel elementaarsündmusteks, paneme 

kirja sündmuste täieliku süsteemi ning selgitame sellel põhimõisteid. 

Vaadeldava katse korral võib nii vapp kui ka kiri esile tulla 0 kuni 3 korda. 

Kõikide erinevate võimaluste arv n võrdub kordumistega variatsioonide 

arvuga kahest elemendist kolme kaupa 

n = W 3 2 = 2 3 = 8. 

Tähistame vapi esiletuleku ühel viskel (mündil) sündmusena A ja kirja 

esiletuleku sündmusena B, siis vaadeldava katsega kaasneda võivate sündmuste 

(kõikide võimaluste) hulk on{AAA, AAB, ABA, BAA, 

ABB, BAB, BBA, BBB}, mis on paarikaupa teineteist välistavate elementaarsündmuste 

täielik süsteem. Selle süsteemi igale sündmusele on 

parajasti üks soodne võimalus kaheksast. 

Katsele tuginev sündmuste täielik süsteem ei ole ühene. Tähistame 

sündmusena A i,j võimaluse, et katse tulemuseks on kirja tulek i korda 

(i = 0, 1, 2, 3) ja vapi tulek j korda (j = 0, 1, 2, 3). Võimalike sündmuste 

hulk on {A 3,0 , A 1,2 , A 0,3 }, mis on sündmuste täielik süsteem. Siin 

A 3,0 = AAA, A 2,1 = AAB + ABA + BAA, 

A 1,2 = ABB + BAB + BBA, A 0,3 = BBB. 

Võrdvõimalikud on sündmused A 3,0 ning A 0,3 (mõlema toimumiseks üks 

soodne võimalik elementaarsündmus), samuti sündmused A 2,1 ning A 1,2 

(mõlema toimumiseks kolm soodsat elementaarsündmust). Kui tähistame 

vapi esiletuleku paarisarv korda C, siis C = A 2,1 ning selle vastandsündmus 

(vapp ei tule esile paaris arv korda) C = A 3,0 + A 1,2 + A 0,3 . 

Lihtne on veenduda, et hulk {C, C} on samuti täielik süsteem. 

8.2. Kaheksaliikmeline grupp läheb paadimatkale ühe nelja- ja ühe kuuekohalise 

paadiga. Leiame tõenäosuse, et matkaja A satub suuremasse

34 

paati, kui matkajad paatidesse loositakse. 

Lahendus. Kasutame klassikalist tõenäosust. Olgu sündmus A - matkaja 

A satub suuremasse paati, siis P (A) = m. 

Kuna ühe paadi koosseis 

n 

määrab ühtlasi teise paadi koosseisu, siis lähtume näiteks suuremast 

paadist. Sellesse võib loosiga sattuda 6 või 5 või 4 matkajat. Seega 

on suurema paadi korral kolm üksteist välistavat varianti, millest antud 

katse korral (8 inimese kahte antud paati juhuslik paigutamine) kombinatoorika 

liitmislause põhjal kõikide elementaarvõimaluste arv n = 

= C8 6 + C8 5 + C8 4 = 28 + 56 + 70 = 154. 

Kuna C8 k = C8 8−k , siis on see sama, et n = C8 2 + C8 3 + C8 4 = 154, mis 

vastab aga loosimisele väiksemasse paati. 

Soodsate võimaluste arvu saame tingimusest, et matkaja A satub 

loosiga suuremasse paati. Seega soodsate võimaluste arv m on määratud 

ülejäänud 7 matkaja paigutumisega paatidesse. Eelneva põhjal m = 

= C7 5 + C7 4 + C7 3 = 21 + 35 + 35 = 91 ning saame, et 

P (A) = 91 

154 

≈ 0, 591. □ 

8.3. Lõigule BC paigutatakse juhuslikult kaks punkti L ja M. Leiame 

tõenäosuse, et punkt L asub punktile M lähemal kui punktile B. 

Lahendus. Kasutame geomeetrilist tõenäosust. Olgu lõigu BC pikkus 

ρ(B, C) = 1. Tähistame ρ(B, L) = x ja ρ(B, M) = y. Meid huvitab 

sündmuse A : ρ(L, M) < ρ(B, L) tõenäosus. Kuna L ja M on suvalised 

punktid lõigult BC, siis x, y ∈ [0, 1]. Kõikide võimalike paaride (x; y) 

hulk Ω on ruut [0, 1] × [0, 1] pindalaga µ(Ω) = 1. Sündmus A toimub, 

kui |x − y| < x ja x < y. Veendu, et juhul x > y on A kindel sündmus! 

Lahendame süsteemi 

{ 

|x − y| < x, 

⇒ x − y < 0 ⇒ −(x − y) < x ⇒ y < 2x. 

x < y, 

Sündmus A toimub, kui juhuslik punkt (x; y) satub ruudus [0, 1] × [0, 1] 

allapoole sirget y = 2x. Vastav piirkond Ω A on joonisel viirutatud. Viirutatud 

osa pindala µ(Ω A ) = 3 4 . Seega 

P (A) = µ(Ω A) 

µ(Ω) 

= 

0, 75 

1 

= 0, 75. □

35 

y 

✻ y = 2x 

1 ✁ ❅ ❅❅ 

❅ 

❅❅ ❅ ❅ 

❅ 

❅ ❅ 

✁ ✁✁✁✁✁✁ ❅ 

❅ 

❅ 

1 

✲ x 

8.4. Ühes komplektis on 8 häälestatud ja 7 häälestamata seadet, teises 

komplektis 10 häälestatud ja 6 häälestamata seadet. Mõlemast komplektist 

võetakse juhuslikult 3 seadet. Leiame tõenäosuse, et kõik võetud 

seadmed on häälestatud. 

Lahendus. I Katse on 3 ja 3 seadme võtmine. Meid huvitav sündmus on 

kahe sõltumatu sündmuse A 1 ja A 2 korrutis. 

P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) · P (A 2 ) 

A 1 - kolme häälestatud seadme saamine esimesest komplektist, 

A 2 - kolme häälestatud seadme saamine teisest komplektist. 

P (A 1 ) ning P (A 2 ) leiame klassikalise tõenäosuse definitsioonist. 

n 1 = C 3 15 = 455, m 1 = C 3 8 = 56, n 2 = C 3 16 = 560, m 2 = C 3 10 = 120. 

P (A 1 A 2 ) = m 1 

n 1 

· m2 

n 2 

= 

56 · 120 

455 · 560 = 12 

455 

≈ 0, 026. □ 

kasu- 

Märkus. Lahenduse võib kirja panna ka valemit Cn m = 

n! 

tades. Siis 

P (A 1 A 2 ) = 

8! · 3! · 12! 10! · 3! · 13! 

· 

3! · 5! · 15! 3! · 7! · 16! 

= 

m!(n−m)! 

8 · 7 · 6 · 10 · 9 · 8 

13 · 14 · 15 · 16 · 15 · 14 = 

= 241920 ≈ 0, 026. 

9172800 

II Katse on 6 seadme järjest võtmine, kusjuures võtmiste järjekord ei 

ole oluline ning ühest komplektist võetu ei mõjuta teisest komplektist

36 

võtmise tulemust. Tähistame A 1,k esimesest komplektist ja A 2,k teisest 

komplektist häälestatud seadme saamise, k = 1, 2, 3. Siis 

A 1 A 2 = A 11 · A 12 · A 13 · A 21 · A 22 · A 23 . 

Sündmused A 1,k , samuti sündmused A 2,k on sõltuvad, seega 

P (A 1 A 2 ) = P (A 11 ) · P (A 12 /A 11 ) · P (A 13 /A 11 A 12 ) · P (A 21 )· 

·P (A 22 /A 21 ) · P (A 23 /A 21 A 22 ) = 

= 8 

15 · 7 

14 · 6 

13 · 10 

16 · 9 

15 · 8 

≈ 0, 026. □ 

14 

Võrdle esimese lahendusvariandiga. Analoogsete ülesannete lahendamisel 

vali endale sobivam lahendusvariant. 

8.5. Signaali püütakse teineteisest sõltumatult kahe vastuvõtjaga. Signaali 

tabamise tõenäosus on neil vastavalt 0,5 ja 0,7. Leiame tõenäosuse, 

et signaal vastu võetakse. 

Lahendus. I Signaal võetakse vastu, kui selle tabab vähemalt üks vastuvõtjatest. 

Tähistame signaali vastuvõtmise sündmusena A, signaali 

vastuvõtmise vastuvõtjate poolt A 1 ning A 2 . Siis A = A 1 +A 2 . Sündmused 

A 1 ning A 2 on mittevälistavad, seega P (A) = P (A 1 + A 2 ) = P (A 1 )+ 

+P (A 2 )−P (A 1 )P (A 2 ). Veendu, et sündmused A 1 ning A 2 on ka sõltumatud. 

Saame 

P (A) = 0, 5 + 0, 7 − 0, 5 · 0, 7 = 0, 85. □ 

Näeme, et vastuvõtja dubleerimine tõstab oluliselt süsteemi töökindlust 

- signaali vastuvõtmise tõenäosust. 

II Sündmuse vähemalt üks vastandsündmus on mitte ükski. Vaadeldavas 

ülesandes sündmuse A vastandsündmus on, et kumbki vastuvõtja ei taba 

signaali ehk A = A 1 A 2 . Seega saame otsitud tõenäosuse ka 

P (A) = 1 − P (A) = 1 − P (A 1 A 2 ) = 1 − P (A 1 )P (A 2 ) = 

= 1 − 0, 5 · 0, 3 = 1 − 0, 15 = 0, 85. □ 

III Tõenäosuse saab leida tuginedes sündmust A sisaldavale sündmuste 

täielikule süsteemile {A 1 A 2 , A 1 A 2 , A 1 A 2 , A 1 A 2 }. Selle süsteemi neli 

sündmust on teineteist paari kaupa välistavad, seega 

P (A) = P (A 1 A 2 ) + P (A 1 A 2 ) + P (A 1 A 2 ).

37 

Arvestades sündmuste A 1 , A 2 , A 1 , A 2 sõltumatust saame 

P (A) = 0, 5 · 0, 7 + 0, 5 · 0, 3 + 0, 5 · 0, 7 = 0, 35 + 0, 15 + 0, 35 = 0, 85. □ 

Sündmused A 1 ja A 1 on võrdtõenäosed. 

8.6. Kui suur peab olema signaali vastuvõtmise tõenäosus p ühel edastamisel 

selleks, et signaali kordamisel neli korda see võetakse vastu tõenäosusega 

vähemalt 0,99? 

Lahendus. Signaal võetakse vastu, kui see tabatakse vähemalt ühel korral 

neljast. Tegemist on nelja mittevälistava sõltumatu sündmuse A i (i = 

= 1, 2, 3, 4) summaga, kusjuures P (A i ) = p. Tähistame P (A i ) = 

= 1 − p = q. 

Kasutame summa vastandsündmust 

P (A 1 + A 2 + A 3 + A 4 ) = 1 − P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )P (A 4 ) ⇒ 

⇒ 1 − q 4 ≥ 0, 99 ⇒ q 4 ≤ 0, 01 ⇒ q ≤ 0, 3162 ⇒ 

⇒ p ≥ 1 − 0, 3162 = 0, 6838. □ 

8.7. Kolmes kemikaalide partiis on vastavalt 15%, 25% ning 5% aegunud 

ampulle. Leiame tõenäosuse, et juhuslikult võetud ampull ei sisalda aegunud 

kemikaali. 

Lahendus. I Ampull võetakse juhuslikust partiist. Olgu hüpotees H i (i = 

= 1, 2, 3), et ampull võetakse i-ndast partiist, siis P (H 1 ) = P (H 2 ) = 

= P (H 3 ) = 1 ning meil on hüpoteeside täielik süsteem. Meid huvitava 

sündmuse A, võetud ampullis kemikaal ei ole aegunud, tinglikud 

3 

tõenäosused on P (A/H 1 ) = 0, 85, P (A/H 2 ) = 0, 75, P (A/H 3 ) = 0, 95. 

Soovitud tõenäosuse leiame täistõenäosuse valemi põhjal 

P (A) = P (H 1 )P (A/H 1 ) + P (H 2 )P (A/H 2 ) + P (H 3 )P (A/H 3 ) = 

= 1 (0, 85 + 0, 75 + 0, 95) = 0, 85. □ 

3 

II Ülesande saab lahendada ka täistõenäosuse valemit kasutamata. Partii 

ja ampulli valik on juhuslik. Kuna partiide kohta ei ole täiendavat informatsiooni, 

võib aegumata kemikaaliga ampulli saamist vaadata kui katse:

38 

300 ampulli hulgast, milles 85+75+95=255 on aegumata kemikaaliga, 

võetakse juhuslikult üks ampull, tulemust. 

P (A) = m n = 255 

300 

= 0, 85. □ 

8.8. Kolmes komplektis on tooteid tunnusega A ning tunnusega B. Ühes 

komplektis on 2 toodet tunnusega A ning 3 toodet tunnusega B, teises 

komplektis on vastavaid tooteid 3 ning 5 ja kolmandas komplektis 3 

ning 7. Leiame tõenäosuse, et juhuslikust komplektist juhuslikult saadud 

toode tunnusega A võeti teisest komplektist. Millisest komplektist võeti 

toode tunnusega A kõige tõenäosemalt? 

Lahendus. Soovitud tõenäosuslikud hinnangud saame Bayesi valemi kaudu. 

Leiame kõigepealt tõenäosuse, et juhuslikult võetud toode on tunnusega 

A - sündmus A. Hüpoteeside täielik süsteem on {H 1 , H 2 , H 3 }, kus 

H i on hüpotees, et toode võeti i- ndast komplektist ja P (H 1 ) = P (H 2 ) = 

= P (H 3 ) = 1. Samuti on teada P (A/H 3 1) = 2, P (A/H 5 2) = 3, P (A/H 8 3 = 

= 3 . Täistõenäosuse valemi põhjal (vt. ülesanne 8.7.) 

10 

P (A) = 1 3 (0, 4 + 0, 375 + 0, 3) = 1 · 1, 075 = 0, 358(3). 

3 

Bayesi valemi kaudu saame iga hüpoteesi aposterioorse tõenäosuse pärast 

sündmuse toimumist kui sündmuse vaadeldava hüpoteesiga toimumise 

võimalikkuse osakaalu täistõenäosuses. 

P (H 2 /A) = P (H 2) · P (A/H 2 ) 

P (A) 

= 

1 

3 

1 

3 

· 0, 375 

≈ 0, 3488. □ 

· 1, 075 

Enne sündmuse A toimumist olid kõik P (H i ) = 1 (i = 1, 2, 3). Et saada 

3 

vastus teisele küsimusele, leiame ka hüpoteeside H 1 ning H 3 tinglikud 

tõenäosused pärast sündmuse A toimumist: 

P (H 1 /A) = 0, 4 

1, 075 

≈ 0, 3721, 

P (H 3 /A) = 0, 3 ≈ 0, 2791. 

1, 075 

Hüpoteeside ümberhinnatud tõenäosusi võrreldes näeme, et kõige tõenäosem 

on hüpotees H 1 ehk toode tunnusega A võeti kõige tõenäosemalt 

esimesest komplektist. □

39 

Ka pärast ümberhindamist 

P (H 1 /A) + P (H 2 /A) + P (H 3 /A) = 0, 3488 + 0, 3721 + 0, 2791 = 1. 

Mõtle, millisest lisainformatsioonist tuleneb hüpoteeside erinev võimalikkus 

pärast sündmuse A toimumist? 

Märkus. Lahendades sama ülesande sündmuse B suhtes, et juhuslikul 

võtmisel saadi toode tunnusega B leiame: 

P (B) = 1 · 1, 925 = 0, 641(6) (NB! P (A) + P (B) = 1), 

3 

P (H 1 /B) = 0, 3117, P (H 2 /B) = 0, 3247, P (H 3 /B) = 0, 3636. 

Analüüsi tulemusi analoogiliselt sündmuse A korral tehtule! 

8.9. Rendifirma mistahes auto võib ööpäeva jooksul vajada remonti 

tõenäosusega 0,02. Leiame tõenäosuse, et suvalisest kümnest rendiautost 

vajab ööpäevas remonti kolm. Mitu autot kümnest vajab ööpäevas 

remonti kõige tõenäosemalt? Leiame ka selle tõenäosuse. 

Lahendus. Leiame esimese tõenäosuse Bernoulli valemi kaudu: 

P n (m) = C m n p m q n−m , 

kus n = 10, m = 3, p = 0, 02, q = 0, 98, C 3 10 = 10! 

3!·7! = 120. 

P 10 (3) = C 3 10 · 0, 02 3 · 0, 98 7 = 0, 0008(3) ≈ 8, 3 · 10 −4 . □ 

Leiame tõenäoseima remonti vajava rendiautode arvu kümnest 

[(n + 1)p] ⇒ [(10 + 1) · 0, 02] = [0, 22] = 0. □ 

Seega kõige tõenäolisemalt ei vaja antud rendifirma mistahes kümnest 

autost ööpäevas remonti ükski. 

8.10. Firma juhatusse kuulub 7 liiget. Tähtsate otsuste vastuvõtmiseks 

on tarvis kahe kolmandiku liikmete kohalolek. Järjekordseks istungiks 

saab iga liige kohale tulla tõenäosusega 0,7. Leiame tõenäosuse, et sellel 

koosolekul saab vastu võtta tähtsaid otsuseid. 

Lahendus. Kaks kolmandikku seitsmest on 4,(6), seega peab koosolekul 

osalema vähemalt 5 juhatuse liiget ehk 5 või 6 või 7 liiget. Tuleb leida

40 

kolme üksteist välistava sündmuse summa tõenäosus. Kuna kõigil juhatuse 

liikmeil on sama osavõtu võimaluse tõenäosus p = 0, 7, siis kasutame 

Bernoulli valemit. 

P 7 (5) + P 7 (6) + P 7 (7) = C 5 7 · 0, 7 5 · 0, 3 2 + C 6 7 · 0, 7 6 · 0, 3 + 0, 7 7 = 

= 0, 317652 + 0, 247063 + 0, 082354 ≈ 0, 647. □ 

Märkus. Antud ülesande tingimustel on kõige tõenäosem kohale tulla 

saavate juhatuse liikmete arv 

[(7 + 1) · 0, 7] = [5, 6] = 5. 

8.11. Viiest kaalust üks on ebatäpne. Selle eraldamiseks tehakse iga 

kaaluga etaloni kontrollkaalumine. Kaalude kontrollimise järjekord on 

juhuslik. Leiame ebatäpse kaalu väljaselgitamiseks vajalike kaalumiste 

(kontrollitud kaalude) arvu jaotusseaduse. 

Lahendus Ebatäpne kaal võib osutuda kontrollitavaks esimesel, teisel, ..., 

viiendal kaalumisel. Seega kontrollkaalumiste arv on diskreetne juhuslik 

suurus X, millel on viis võimalikku väärtust x i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Leiame 

sündmuste X = x i tõenäosused p i . Selleks avaldame sündmused X = x i 

sündmuste A-kontrollitav kaal on ebatäpne ning A-kontrollitav kaal on 

täpne korrutisena. 

Kui esimesena kontrollitud kaal on ebatäpne, lõpetatakse kaalumine, sest 

sündmus A toimus. Seega X = 1, p 1 = P (X = 1) = P (A) = 1 5 . 

Kui esimesena kontrollitud kaal on täpne, kontrollitakse järgmist. Kui 

see osutub ebatäpseks, siis lõpetatakse kaalumine. Kuna esimesena kontrollitud 

kaalu uuesti ei kontrollita, on tegemist sõltuvate sündmuste korrutamisega, 

sest iga kaalumisega kontrollitavate kaalude arv väheneb. 

p 2 = P (X = 2) = P (AA) = P (A)P (A/A) = 4 5 · 1 

4 = 1 5 . 

Selliselt, mõtteliselt katset jätkates, saame 

p 3 = P (X = 3) = P (AAA) = P (A)P (A/A)P (A/AA) = 4 5 · 3 

4 · 1 

3 = 1 5 , 

p 4 = P (X = 4) = P (AAAA) = P (A)P (A/A)P (A/AA) · P (A/AAA) = 

= 4 5 · 3 

4 · 2 

3 · 1 

2 = 1 5 ,

p 5 = P (X = 5) = P (AAAAA) = ... = 4 5 · 3 

4 · 2 

3 · 1 

2 · 1 = 1 5 , 

sest P (A/AAAA) = P (K) = 1. Sündmused X = 1, ..., X = 5 moodustavad 

täieliku süsteemi (kontrolli!). 

Vormistame kontrollkaalumiste arvu X jaotusseaduse jaotustabelina 

x i 1 2 3 4 5 

p i 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 . □ 

Kontrollkaalumiste arvul X on diskreetne ühtlane jaotus. 

41 

8.12. Signaali edastatakse selle kinnipüüdmiseni. Igal edastamisel võidakse 

signaal kinni püüda tõenäosusega p = 0, 7. Leiame signaali kinnipüüdmiseks 

vajalike edastamiste arvu jaotusseaduse ja jaotusfunktsiooni. 

Lahendus. Signaali võidakse kinni püüda mistahes edastamisel. Kinnipüüdmiseks 

vajalike edastamiste arv on juhuslik suurus X, millel on 

loenduv hulk võimalikke väärtusi x i ∈ {1, 2, ..., n, ...}. Praktiliselt osutub 

see hulk lõplikuks. Vaatame katsega (signaalide järjestikune sõltumatu 

edastamine ja püüdmine kuni signaali vastuvõtmiseni) kaasnevaid võimalusi 

ja leiame neile vastavad tõenäosused P (X = x i ) = p i . 

Signaal võetakse vastu esimesel edastamisel: 

x 1 = 1, P (X = 1) = p. 

Signaal võetakse vastu teisel edastamisel (esimesel seda kinni ei püütud): 

x 2 = 2, P (X = 2) = qp, kus q = 1−p on tõenäosus, et signaali ei tabata. 

Signaal võetakse vastu kolmandal edastamisel (kahel esimesel edastamisel 

seda ei tabatud): 

x 3 = 3, P (X = 3) = q · q · p = q 2 p. 

Kasutades matemaatilise induktsiooni meetodit saame x n = n, P (X = 

= n) = p q n−1 . □ 

Tegemist on geomeetrilise jaotusega, sest sündmuste x = 1, x = 

= 2, ..., x = n, ... tõenäosused 

p, p q, p q 2 , ..., p q n−1 , ... 

on geomeetrilise rea liikmed, kusjuures q = 0, 3 < 1. 

Leiame selle rea summa 

∞∑ 

∞∑ 

∞∑ 

P (X = x i ) = p q i−1 = p q i = 

p 

1 − q = p p = 1. 

i=1 

i=1 

i=0

42 

Seega sündmuste X = x i hulk on täielik süsteem. 

Kinnipüüdmiseni edastatud signaalide arvu jaotustabel on 

x i 1 2 3 4 ... n 

p i 0,7 0, 7 · 0, 3 = 0, 7 · 0, 3 2 = 0, 7 · 0, 3 3 = ... 0, 7 · 0, 3 n−1 

= 0, 21 = 0, 063 = 0, 0189 

□ 

X väärtuste hulga täielikkus on eelnevalt üldjuhul kontrollitud. Leiame 

tabelis toodud tõenäosuste põhjal, kui suur on tõenäosus, et signaali 

kinnipüüdmiseks on vaja seda kuni neli korda edastada: 

P (X ≤ 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 

= 0, 7 + 0, 21 + 0, 063 + 0, 0189 = 0, 9919. 

Tulemusest järeldub, et signaali kinnipüüdmine nelja edastamise jooksul 

on praktiliselt kindel sündmus. Pikemate edastamisseeriate korral suureneb 

signaali vastuvõtmise tõenäosus ainult 0,0081 võrra. 

Jaotusfunktsioon 

F (x) = ∑ k

43 

ühega, saame silmade arvu X jaotusseaduse esitada jaotustabelina 

x i 1 2 3 4 

p i 0,5 0,25 0,125 0,125 . □ 

Jaotusfunktsioon on 

⎧ 

0, kui x ≤ 1, 

⎪⎨ 0, 5, kui 1 < x ≤ 2, 

F (x) = 0, 75, kui 2 < x ≤ 3, 

0, 875, kui 3 < x ≤ 4, 

⎪⎩ 

1, kui 4 < x. □ 

Lihtne on veenduda, et F (1) = P (X < 1) = P (V ) = 0, F (2) = 

= P (X < 2) = P (X = 1) = 0, 5, F (3) = P (X < 3) = P (X = 1)+ 

+P (X = 2) = 0, 5 + 0, 25 = 0, 75 jne. Kui x > 4, siis F (x) = P (X = 

= 1)+P (X = 2)+P (X = 3)+P (X = 4) = 0, 5+0, 25+0, 125+0, 125 = 1. 

Kasutades Heaviside’i funktsiooni, saame jaotusfunktsiooni esitada 

F (x) = 0, 5 · 1(x − 1) + 0, 25 · 1(x − 2) + 0, 125 · 1(x − 3) + 0, 125 · 1(x − 4). 

Leiame nüüd nõutud tõenäosused: 

P (X < 4) = F (4) = 0, 875, 

P (2 ≤ X < 4) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 25 + 0, 125 = 0, 375, 

P (X > 3) = P (X = 4) = 0, 125. □ 

8.14. Pideva juhusliku suuruse X jaotustihedus avaldub kujul 

{ 

0, kui x ∉ [0, 1], 

f(x) = 

ax 3 , kui x ∈ [0, 1]. 

Määrame kordaja a, leiame F (x), skitseerime mõlema funktsiooni graafikud. 

Leiame juhusliku suuruse X keskväärtuse EX, standardhälbe σ 

ning tõenäosused P (X < 0, 5), P (X ∈ [0, 25; 0, 75]). 

Lahendus. Kordaja a määrame tingimusest ∫ +∞ 

f(x)dx = 1. Kuna f(x) 

−∞ 

on nullist erinev vaid lõigul [0, 1], siis ∫ 0 

f(x)dx = ∫ +∞ 

f(x)dx = 0 

−∞ 1

44 

ja ∫ 1 

0 ax3 dx Peab! 

= 1. Saame a x4 

4 |1 0 = 1 ⇒ a 4 

jaotustiheduse täpne avaldis 

Jaotusfunktsioon 

seega 

f(x) = 

{ 

0, kui x ∉ [0, 1], 

4x 3 , kui x ∈ [0, 1]. 

= 1 ⇒ a = 4. □ Seega on 

F (x) = ∫ x 

−∞ f(t)dt = ∫ x 

0 4t3 dx = 4 · t4 4 |x 0 = x4 , 

⎧ 

⎪⎨ 0, kui x < 0, 

F (x) = x 

⎪⎩ 

4 , kui 0 ≤ x ≤ 1, 

1, kui x > 1. □ 

Skitseerime funktsioonide f(x) ja F (x) graafikud 

f(x) 

✻ 

4 

F (x) 

✻ 

1 

✛ 

1 

✲ x 

1 

✲ x 

Leiame 

EX = ∫ +∞ 

−∞ xf(x)dx = ∫ 0 

−∞ x · 0dx + ∫ 1 

0 x · 4x3 dx + ∫ +∞ 

1 

x · 0dx = 

= 4 ∫ 1 

0 x4 dx = 4 · x5 

5 |1 0 = 4 5 

= 0, 8. □ 

Vaadates tihedusfunktsiooni graafikut on arusaadav keskväärtuse tugev 

nihe paremale, sest sealt tulevad X väärtused palju tihedamalt esile.

Kuna σ = √ DX, leiame dispersiooni DX kasutades selle avaldumist algmomentide 

kaudu. 

millest 

Lõpetuseks 

DX = EX 2 − (EX) 2 = ∫ 1 

0 x2 · 4x 3 dx − ( 4 5 )2 = 4 6 − 16 

25 = 2 75 , 

σ = √ 0, 02(6) ≈ 0, 1633. □ 

P (X < 0, 5) = F (0, 5) = 0, 5 4 = 0, 0625, 

P (X ∈ [0, 25; 0, 75]) = F (0, 75) − F (0, 25) = 0, 75 4 − 0, 25 4 = 0, 3125. □ 

45 

8.15. Seade rikneb garantiiaja jooksul tõenäosusega 0,01. Leiame tõenäosuse, 

et 20 sellisest seadmest rikneb garantiiaja jooksul kuni 3 seadet. 

Lahendus. Riknevate seadmete arv on juhuslik suurus X, millel on binoomjaotus 

parameetriga n = 20 ja p = 0, 01. Arvutades EX = np = 

= 20·0, 01 = 0, 2 ning DX = np q = 20·0, 01·0, 99 = 0, 198 ≈ 0, 2 näeme, 

et EX ≈ DX. Seega võime binoomjaotuse asendada Poissoni jaotusega, 

mille parameeter λ = np = 0, 2. Esitame (X ≤ 3) = (X = 0) + (X = 

= 1) + (X = 2) + (X = 3). Liidetavad sündmused on üksteist välistavad. 

Tähistame P (X = k) = p(k), siis 

p(k) ≈ 

0, 2k 

e −0,2 . 

k! 

P (X ≤ 3) = p(0)+p(1)+p(2)+p(3) ≈ e −0,2 0, 20 

( 

0! 

+ 0, 2 0, 22 

+ + 

1! 2! 

= e −0,2 (1 + 0, 2 + 0, 02 + 0, 001(3)) = 0, 99994. □ 

0, 23 

) = 

3! 

8.16 Kiirtee teataval lõigul toimub nädalas keskmiselt 2 liiklusõnnetust. 

Leiame tõenäosuse, et 3 päeva jooksul toimub sellel teelõigul vähemalt 

üks liiklusõnnetus.

46 

Lahendus. Liiklusõnnetuste arv päevas on juhuslik suurus X, millel on 

Poissoni jaotus. Jaotuse parameeter λ on keskmine liiklusõnnetuste arv 

meid huvitavas ajavahemikus. Sündmuse X ≥ 1, toimub vähemalt üks 

liiklusõnnetus, asemel kasutame selle vastandsündmust X = 0, et ei 

toimu ühtegi liiklusõnnetust. 

P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0), 

kus P (X = m) = λm 

m! e−λ ja λ = 2 · 3 = 6 7 7 

päeva kohta. 

on keskmine õnnetuste arv kahe 

P (X ≥ 1) = 1 − ( 6 7 )0 

0! 

· e − 6 7 = 1 − e 

− 6 7 ≈ 0, 576. □ 

8.17. Trollibussid sõidavad regulaarselt intervalliga 5 min. Üliõpilane 

jõuab peatusse juhuslikul ajahetkel. Leiame tõenäosuse, et üliõpilasel ei 

tule oodata kauem kui 2 min.; 0,5 min. Kui pikk on keskmine ooteaeg? 

Lahendus. Trollibussi ootamise aeg X on lõigul [0,5] ühtlase jaotusega 

juhuslik suurus. Selle jaotuse jaotusfunktsioon F (X) = x−0 = x, kui 

5−0 5 

x ∈ [0, 5]. Leiame sündmuste X ≤ 2 ja X ≤ 0, 5 tõenäosused 

P (X ≤ 2) = P (X < 2) = F (2) = 2/5 = 0, 4, 

P (X ≤ 0, 5) = P (X < 0, 5) = F (0, 5) = 0, 5/5 = 0, 1. □ 

Keskmine ooteaeg on ooteaja keskväärtus 

EX = a + b 

2 

= 0 + 5 

2 

= 2, 5 min. □ 

8.18. Seadme garantiiaeg on 10 aastat. Leiame tõenäosuse, et rike 

toimub esimese 5 aasta jooksul. Enne millist aega seade ei rikne tõenäosusega 

0,95? Kui suur on tõenäosus, et seade rikneb ajavahemikus (5, 15)? 

Lahendus. Seadme tõrketa tööaeg on eksponentjaotusega juhuslik suurus 

T , mille jaotusfunktsioon 

F (t) = 1 − e −λt ,

kus t ≥ 0 ja parameeter λ - sündmuse toimumiste keskmine arv ajaühikus 

(käesolevas ülesandes aasta), λ = 1 = 0, 1 sündmust aasta kohta. 

10 

P (T < 5) = F (5) = 1 − e −0,1·5 = 1 − 0, 606531 ≈ 0, 394. □ 

Et tõrke tõenäosuse leidmine on riski hindamine, siis ümardame tulemuse 

ülespoole. 

Teisele küsimusele vastuse saamiseks lahendame aja t suhtes võrrandi 

P (T ≥ t) = 0, 95 ⇒ 1 − P (T < t) = 0, 95 ⇒ F (t) = 0, 05 ⇒ 

⇒ 1 − e −0,1t = 0, 95 ⇒ e −0,1t = 0, 05 ⇒ −0, 1t = ln0, 05 ⇒ 

⇒ t = 29, 957 ≈ 30aastat. □ 

Seega peaks seade soovitud usaldatavuse saavutamiseks töötama tõrgeteta 

kolm korda kauem kui on garantiiaeg. Lõpuks 

P (5 < T < 15) = F (15) − F (5) = 1 − e 1,5 − (1 − e −0,5 ) = 

= e −0,5 − e −1,5 = e − 1 

e √ e 

≈ 0, 3834. □ 

47 

8.19. Signaali edastatakse korduvalt selle vastuvõtmiseni. Signaali vastuvõtmise 

tõenäosus igal edastamisel on 0,4. Paneme kirja signaali vastuvõtmiseks 

kulunud edastamiste arvu X, kui juhusliku suuruse, jaotusfunktsiooni 

ning jaotustiheduse ning leiame keskväärtuse ja dispersiooni. 

Lahendus. Signaali edastamiste arv X on diskreetne juhuslik suurus, 

mille võimalike väärtuste hulk on loenduv hulk {1, 2, ..., n, ...}. Juhuslikul 

suurusel X on geomeetriline jaotus parameetriga p = 0, 4, millest q = 

= 1 − p = 0, 6. Jaotusfunktsioon 

F (x) = ∑ m

48 

Jaotustiheduse avaldame deltafunktsiooni kaudu. 

∞∑ 

f(x) = 0, 4 · 0, 6 m−1 δ(x − m). □ 

m=1 

Liikmeti kirjutatuna on nende funktsioonide avaldised 

F (x) = 0, 4(1(x−1)+0, 6·1(x−2)+0, 6 2·1(x−3)+...+0, 6 n−1·1(x−n)+...), 

f(x) = 0, 4(δ(x − 1) + 0, 6 · δ(x − 2) + ... + 0, 6 n−1 · δ(x − n) + ...). 

Keskväärtuse ja dispersiooni leidmiseks kasutame juhusliku suuruse X 

karakteristlikku funktsiooni 

g(w) def. 

= Ee iwX , w ∈ R. 

Et juhuslikul suurusel e iwX on sama jaotus kui suurusel X, siis keskväärtuse 

definitsioonist 

∞∑ 

∑ ∞ 

g(w) = e iwm · 0, 4 · 0, 6 m−1 = 0, 4e iw (0, 6e iw ) m−1 = 

m=1 

m=1 

= 0, 4e iw (1 + 0, 6e iw + (0, 6e iw ) 2 + (0, 6e iw ) 3 + ...) = 

= [sulgudes on geomeetriline rida, mille esimene liige on 1 ja tegur 

0, 6e iw < 1, sest|e iw | = 1] = 0, 4e iw · 

1 0, 4eiw 

= 

1 − 0, 6eiw 1 − 0, 6e . iw 

Teame, et EX = 1 i g′ (0) ja DX = EX 2 − (EX) 2 = 1 i 2 g ′′ (0) − ( 1 i g′ (0)) 2 . 

Leiame karakteristliku funktsiooni esimest ja teist järku tuletised kohal 

w = 0. 

g ′ (w) = d 

dw 

0, 4e iw 

1 − 0, 6e iw = 0, 4eiw · i(1 − 0, 6e iw ) − 0, 4e iw (−0, 6e iw · i) 

(1 − 0, 6e iw ) 2 = 

= 

0, 4ie iw 

(1 − 0, 6e iw ) 2 , 

g ′′ (w) = 0, 4ieiw · i(1 − 0, 6e iw ) 2 − 0, 4ie iw · 2(1 − 0, 6e iw )(−0, 6e iw · i) 

(1 − 0, 6e iw ) 4 = 

EX = 1 i · 

= 0, 4i2 e iw (1 + 0, 6e iw ) 

. 

(1 − 0, 6e iw ) 

0, 4ie 0 

(1 − 0, 6e 0 ) = 0, 4 

2 0, 4 = 1 

2 0, 4 

= 2, 5,

DX = 1 i 2 · 0, 4i2 e 0 (1 + 0, 6e 0 ) 

(1 − 0, 6e 0 ) 3 − ( 1 

0, 4 )2 = 

= 0, 6 = 3, 75. □ 

0, 42 0, 4(1 + 0, 6) 

0, 4 3 − 1 

0, 4 2 = 

Märkus. Üldjuhul, kui juhuslikul suurusel X on geomeetriline jaotus 

parameetriga p, siis EX = 1 q 

ja DX = . 

p p 2 

49 

8.20. Firma personaliülem testib töölesoovijaid ja nõuab kandidaatidelt 

500-punktilist tulemust. Leiame, mitu protsenti töölesoovijatest jääb 

konkureerima teise ringi, kui testitulemustel on normaaljaotus, mille 

EX = 485 punkti ja σ = 30 punkti. 

Lahendus. Tähistame punktides hinnatud testitulemuse X. Leiame 

sündmuse X ≥ 500 tõenäosuse. 

P (X ≥ 500) = 1 − P (X < 500) = 1 − (0, 5 + Φ( 

= 0, 5 − Φ(0, 5) = 0, 5 − 0, 19146 ≈ 0, 308. 

500 − 485 

)) = 

30 

Seega pääseb teise ringi ümmarguselt 31% töölesoovijatest. □ 

Märkus. Laplace’i funktsiooni väärtust leides tuleb tähele panna, milline 

normeerimisteisendus on tabeli või arvutusalgoritmi aluseks, kas X−EX 

σ 

(antud ülesandes) või X−EX 

σ √ . 2 

8.21. Sündmuse A toimumise tõenäosus igal sõltumatul üksikkatsel on 

0,6. Leiame tõenäosuse, et 100 katsel sündmus A toimub mitte vähem 

kui 50 ja mitte rohkem kui 70 korda. 

Lahendus. Sündmuse A toimumiste arvul X on binoomjaotus parameetritega 

p = 0, 6 ja n = 100. Seega EX = np = 60 ja DX = npq = 24. 

Kontrollime kolme sigma reeglit: np − 3σ = 60 − 3 √ 24 ≈ 45, 3 > 0 ja 

np + 3σ = 60 + 3 √ 24 ≈ 74, 7 < 100. Seega võime rakendada Moivre’i- 

Laplace’i integraalset piirteoreemi. 

70 − 60 50 − 60 

P (50 ≤ X ≤ 70) ≈ Φ( √ ) − Φ( √ ) = Φ( √ 10 ) − Φ(−√ 10 ) = 

24 24 24 24 

= [Φ(−x) = −Φ(x)] = 2Φ( 10 √ 

24 

) = 2Φ(2, 041) = 2·0, 47937 = 0, 95874. □

50 

Märkus. Et mõlemad lõigu otspunktid oleks arvesse võetud, kasutatakse 

hinnangu täpsustamiseks nn. pidevuse korrektsiooni. Kuna X väärtused 

muutuvad sammuga 1, võetakse vahemikuks (49,5; 70,5) ehk lõigu otspunktid 

viiakse poole ühiku võrra väljapoole. Leiame nüüd 

P (49, 5 < X < 70, 5) ≈ 2Φ( 10, 5 √ 

24 

) = 2Φ(2, 143) = 2 · 0, 4839 ≈ 0, 9678. 

Tõenäosuse hinnangute võrdlemine jääb lugejale. 

8.22 Mitu toodet tuleb kontrollida, et kvaliteetsete toodete suhteline 

sagedus erineks toote kvaliteetsuse tõenäosusest 0,9 vähem kui 0,02 võrra 

tõenäosusega 0,977? 

Lahendus. Kasutame Bernoulli teoreemi. Tähistame otsitava toodete 

arvu n, üksiktoote kvaliteetsuse tõenäosus p = 0, 9, ε = 0, 02. Seosest 

saame, et 

P (| m n − p| < ε) ≈ 2Φ(ε √ n 

p q ) 

√ 

2Φ(0, 02 

√ 

Φ(0, 02 

n 

0, 9 · 0, 1 

n 

0, 9 · 0, 1 

) ≈ 0, 977 

) ≈ 0, 4885. 

Tabelist või arvutiga leiame tõenäosusele 0,4885 vastava argumendi väärtuse. 

√ n 

0, 02 

0, 9 · 0, 1 ≈ 2, 273 ⇒ √ n = 34, 095 ⇒ n ≥ 1163. □ 

Märkus. Kui alandada usaldusnivood P , väheneb nõutav kontrollimiste 

arv. Näiteks, kui P = 0, 95, siis nõutav n ≥ 865, kui P = 0, 9, siis 

n ≥ 610. 

8.23. Mõõdetava suuruse väärtused alluvad normaaljaotusele, suuruse 

keskväärtus on 20,25 ja dispersioon 70,56. Leiame tõenäosuse, et selle 

suuruse nelja sõltumatu mõõtmise tulemustest kolm satuvad vahemikku 

(9,75; 37,47) ja üks sellest välja.

Lahendus. Mõõdetava suuruse mistahes väärtus satub etteantud vahemikku 

tõenäosusega p = P (9, 75 < X < 37, 47) ning vahemikust välja 

tõenäosusega 1 − p. Leiame 

P (9, 75 < X < 37, 47) = Φ( 

37, 47 − 20, 25 9, 75 − 20, 25 

) − Φ( ) = 

8, 4 

8, 4 

= Φ(2, 05) − Φ(−1, 25) = Φ(2, 05) + Φ(1, 25) = 

= 0, 47982 + 0, 39435 = 0, 87417. 

Soovitud tõenäosuse leidmiseks kasutame Bernoulli valemit, sest mõõtmiste 

näol on tegemist sõltumatute korduvate katsete seeriaga, milles on 

neli katset (mõõtmist) ning iga tulemus võib sattuda soovitud vahemikku 

tõenäosusega p = 0, 87417 ja sellest välja tõenäosusega q = 1 − p = 

= 0, 12583. 

Tähistame sündmuse A - neljast sõltumatust mõõtmistulemusest kolm 

satub vahemikku (9,75; 37,47) ja üks sellest välja, siis 

P (A) = P 4 (3) = C 3 4p 3 q = 4 · 0, 87417 3 · 0, 12583 ≈ 0, 336. □ 

8.24 Seadmes on kolm üksteisest sõltumata funktsioneerivat sõlme. Iga 

sõlm on defektita tõenäosusega 0,9 või defektiga tõenäosusega 0,1. Olgu 

X - defektita sõlmede arv ja Y - defektiga sõlmede arv. Koostame juhusliku 

vektori (X, Y ) jaotustabeli, kirjutame juhuslike suuruste X ning Y 

marginaalsed jaotusseadused, arvutame EX, EY, DX, DY, kovariatsioonimomendi 

cov(X, Y ) ja korrelatsioonikordaja r(X, Y ). Kas selle 

vektori komponendid on korreleeruvad?, sõltuvad? Kui ühel või kahel 

sõlmel avastatakse defekt, siis seade saadetakse remonti. Kui kõik sõlmed 

on defektiga, seade praagitakse välja. Kui tõenäone on, et kontrollitud 

seade läheb remonti? 

Lahendus. Juhusliku vektori komponendid on diskreetsed binoomjaotusega 

juhuslikud suurused võimalike väärtustega 0, 1, 2, 3. Esitame 

vektori (X, Y ) jaotusseaduse jaotustabeliga. 

51 

y j 

\ x i 

0 1 2 3 p(y j ) 

0 0 0 0 0,729 0,729 

1 0 0 0,243 0 0,243 

2 0 0,027 0 0 0,027 

3 0,001 0 0 0 0,001 

p(x i ) 0,001 0,027 0,243 0,729

52 

Tähistades P ((X = x i )(Y = y j )) = p ij saame 

p 00 = p 10 = p 20 = p 01 = p 11 = p 31 = p 02 = p 22 = p 32 = p 13 = p 23 = 

= p 33 = 0. 

See on ilmne, sest kõikidel toodud juhtudel i + j≠3 ehk defektita ja defektiga 

sõlmede tegeliku koguarvuga. 

p 30 = P ((X = 3)(Y = 0)) = 0, 9 3 = 0, 729, 

p 21 = P ((X = 2)(Y = 1)) = 3 · 0, 9 2 · 0, 1 = 0, 243, 

p 12 = P ((X = 1)(Y = 2)) = 3 · 0, 9 · 0, 1 2 = 0, 027, 

p 03 = P ((X = 0)(Y = 3)) = 0, 1 3 = 0, 001. 

Liites arvutatud tõenäosused 0,729+0,243+0,027+0,001=1 näeme, et 

need neli sündmust moodustavad täieliku süsteemi. 

Esitame suuruste X ning Y marginaalsed jaotusseadused jaotustabelina 

ja jaotustihedusena. 

x i 0 1 2 3 

p i 0,001 0,027 0,243 0,729 

y j 0 1 2 3 

p j 0,729 0,243 0,027 0,001 

f 1 (x) = 0, 001δ(x) + 0, 027δ(x − 1) + 0, 243δ(x − 2) + 0, 729δ(x − 3), 

f 2 (y) = 0, 729δ(y) + 0, 243δ(y − 1) + 0, 027δ(y − 2) + 0, 001δ(y − 3). □ 

Järgnevalt arvutame ülesandes nimetatud arvkarakteristikud. 

EX = ∑ 3 

i=0 x ip i = 1 · 0, 027 + 2 · 0, 243 + 3 · 0, 729 = 2, 7, 

EY = ∑ 3 

j=0 y jp j = 1 · 0, 243 + 2 · 0, 027 + 3 · 0, 001 = 0, 3. 

Punkt (EX; EY ) ehk (2,7;0,3) on juhusliku vektoriga (X, Y ) määratud 

tasandi juhuslike punktide parve jaotuskese ehk hajuvuskese. 

Hajuvuse karakteristikud 

DX = EX 2 − (EX) 2 = (1 · 0, 027 + 4 · 0, 243 + 9 · 0, 729) − 2, 7 2 = 0, 27, 

DY = EY 2 − (EY ) 2 = (1 · 0, 243 + 4 · 0, 027 + 9 · 0, 001) − 0, 3 2 = 0, 27, 

cov(X, Y ) = E(XY ) − EX · EY = (0 · 3 · 0, 001 + 1 · 2 · 0, 027 + 2 · 1 · 

0, 243 + 3 · 0 · 0, 729) − 2, 7 · 0, 3 = 0, 54 − 0, 81 = −0, 27. □ 

Saadud tulemus ütleb, et suuruste X ja Y vahel on olemas vastupidise

muutumistendentsiga korrelatiivne seos. Arvutame korrelatsioonikordaja 

r(X, Y ) = cov(X, Y ) −0, 27 

= √ √ = −1. □ 

σ x · σ y 0, 27 · 0, 27 

Väärtus −1 ütleb, et suuruste X ja Y vahel on lineaarne sõltuvus, mis 

avaldub seosega 

Y = 3 − X, x ∈ {0, 1, 2, 3}. 

Tõenäosus, et seade läheb remonti, on 

P ((X = 1)(Y = 2)) + P ((X = 2)(Y = 1)) = 0, 027 + 0, 243 = 0, 270. □ 

53 

8.25 Juhusliku vektori (X, Y ) jaotustihedus on 

{ 

a(x − y), kui (x; y) ∈ [1, 2] × [0, 1], 

f(x, y) = 

0 mujal. 

Määrame kordaja a, leiame marginaalsed jaotustihedused, EX, EY, DX, 

DY, cov(X, Y ), r(X, Y ), f(y/x), f(x/y) ning regressioonijoonte võrrandid 

y = E(Y/x), x = (X/y). 

Lahendus. Kordaja a määrame tingimusest ∫ +∞ 

−∞ 

a 

∫ 2 

1 

dx 

∫ 1 

0 

∫ 2 

1 

dx 

(x − y)dy = a 

∫ 1 

0 

∫ 2 

1 

a(x − y)dy = 1, 

∫ +∞ 

P eab! 

f(x, y)dxdy = 1. 

−∞ 

∫ 2 

(xy − y2 

2 )1 dx = a (x − 1 

0 2 )dx = 

= a( x2 

2 − x 2 )2 1 = a(4 2 − 2 2 − 1 2 + 1 2 ) = a. 

Et arvutatud integraali väärtus peab olema 1, saame a = 1. □ 

Seega 

{ 

x − y, kui (x; y) ∈ [1, 2] × [0, 1], 

f(x, y) = 

0 mujal. 

1 

Leiame marginaalsed jaotustihedused.

54 

f 1 (x) = ∫ +∞ 

f(x, y)dy = ∫ 1 

y2 

(x − y)dy = xy − 

−∞ 0 2 |1 = x − 1, 

0 2 

{ 

x − 0, 5, kui x ∈ [1, 2], 

f 1 (x) = 

0, kui x ∉ [1, 2]. 

f 2 (y) = ∫ +∞ 

f(x, y)dx = ∫ 2 

x2 

(x − y)dx = − −∞ 1 2 yx|2 = 

1 

= 4 2 − 2y − 1 2 + y = 3 2 − y, 

f 2 (y) = 

{ 

1, 5 − y, kui y ∈ [0, 1], 

0, kui y ∉ [0, 1]. 

□ 

Arvutame vektori jaotuse põhilised arvkarakteristikud. 

EX = ∫ +∞ 

−∞ xf 1(x)dx = ∫ 2 

1 x(x − 0, 5)dx = ∫ 2 

1 (x2 − 0, 5x)dx = 

= x3 − x2 

3 4 |2 = 8 − 4 − 1 + 1 = 7 − 3 = 19 

1 3 4 3 4 3 4 12 

EY = ∫ +∞ 

yf −∞ 2(y)dy = ∫ 1 

0 

≈ 1, 58. 

y(1, 5−y)dy = 

3y2 

4 − y3 

3 |1 0 = 3 4 − 1 3 = 5 

12 

≈ 0, 42. 

Juhusliku vektoriga (X, Y ) määratud punktiparve hajuvuskese on punktis 

( 19; 

5 ). Selle punkti ümbrusesse tulevad jaotusega f(x, y) = x−y, kui 

12 12 

x ∈ [1, 2] ja y ∈ [0, 1], määratud juhuslikud punktid kõige sagedamini ehk 

selle punkti ümbruses paiknevad juhuslikud punktid kõige tihedamalt. 

Järgnevalt leiame punktide hajuvuse põhikarakteristikud. 

DX = EX 2 −(EX) 2 = ∫ 2 

1 x2 (x−0, 5)dx−( 19 

12 )2 = ∫ 2 

1 (x3 −0, 5x 2 )dx− 

− 361 

144 = x4 

4 − x3 

6 |2 1 − 361 

144 = ( 16 4 − 8 6 − 1 4 + 1 6 ) − 361 

144 = 31 

12 − 361 

144 = 

= 11 

144 ≈ 0, 076. ⇒ σ x ≈ 0, 276. 

DY = EY 2 − (EY ) 2 = ∫ 1 

0 y2 (1, 5 − y)dy − ( 5 12 )2 = (0, 5y 3 − y4 

4 )1 0 − 25 

144 = 

= (0, 5 − 0, 25) − 25 

144 = 36−25 

144 

= 11 

144 ≈ 0, 076. ⇒ σ y ≈ 0, 276. □

cov(X, Y ) = E(XY )−EX ·EY = ∫ +∞ 

−∞ 

= ∫ 2 

dx ∫ 1 

1 0 

55 

∫ +∞ 

xyf(x, y)dxdy −EX ·EY = 

−∞ 

xy(x − y)dy − 

19 

12 · 5 

12 = ∫ 2 

1 dx ∫ 1 

0 (x2 y − xy 2 )dy − 95 

144 = 

= ∫ 2 y2 

(x2 − x y2 

1 2 3 )1 95 

dx − = ∫ 2 

( x2 − x 95 

)dx − = 

0 144 1 2 3 144 

= ( x3 

6 − x2 

6 )2 1 − 95 

144 = ( 8 6 − 4 6 − 1 6 + 1 6 ) − 95 

144 = 2 3 − 95 

144 = 1 

144 

≈ 0, 007. □ 

Kuna cov(X, Y ) ≈ 0, 007 ≠ 0, siis on juhuslikud suurused X ning Y 

nõrgalt korreleeruvad. Arvutame korrelatsioonikordaja 

r(X, Y ) = cov(X, Y ) 

σ x · σ y 

= 

√ 

1 

144 

11 · 144 

√ 

11 

144 

= 1 11 

= 0, (09). □ 

Kas juhuslikud suurused on sõltuvad? 

võrduse f(x, y) = f 1 (x)f 2 (y) kehtivust. 

Vastuse saamiseks kontrollime 

f 1 (x)f 2 (y) = (x − 0, 5)(1, 5 − y) = 1, 5x + 0, 5y − xy ≠ x − y. 

Järelikult on juhuslikud suurused X ning Y sõltuvad. 

Leiame regressioonijoonte võrrandid. Selleks leiame enne tinglikud jaotustihedused. 

f(y/x) = 

f(x/y) = 

f(x/y) = 

f(x, y) 

f 2 (y) ⇒ f(x/y) = 

f(x, y) 

f 1 (x) ⇒ f(y/x) = 

x − y 

1, 5 − y ehk 

2(x − y) 

, kui y ∈ [0, 1]; 

3 − 2y 

x − y , kui x ∈ [1, 2]. □ 

x − 0, 5 

Regressioonijoonte võrrandid on x = E(X/y) ja y = E(Y/x). 

E(X/y) = ∫ +∞ 

−∞ xf(x/y)dx. 

E(X/y) = ∫ 2 

1 x · x−y 

1,5−y 

dx = [nimetaja 1, 5 − y ei sõltu integreerimismuu- 

∫ 2 

1 (x2 − xy)dx = 

tujast x, seega võime selle tuua integraali ette] = 1 

1,5−y 

= 1 

1,5−y ( x3 

3 − x2 y 

2 )2 1 = 1 

1,5−y · ( 8 3 − 2y − 1 3 + y 2 ) = 2 

3−2y · 14−9y 

6 

= 14−9y 

3(3−2y) . 

E(X/y) = 

14 − 9y 

, kus y ∈ [0, 2]. □ 

3(3 − 2y)

56 

Analoogiliselt 

E(Y/x) = 

∫ +∞ 

−∞ 

yf(y/x)dy. 

E(Y/x) = ∫ 1 

y · x−y 

dy = ∫ 1 1 

(xy − 0 x−0,5 x−0,5 0 y2 )dy = 1 ( xy2 − y3 

x−0,5 2 3 )1 = 

0 

= 1 

x−0,5 ( x 2 − 1 3 ) = 2 

2x−1 · 3x−2 

6 

= 3x−2 

3(2x−1) . 

E(Y/x) = 3x − 2 , kus x ∈ [1, 2]. □ 

3(2x − 1) 

Näeme, et suuruse Y tinglikud keskväärtused suuruse X suhtes katavad 

pidevalt joone 

y = 3x − 2 

3(2x − 1) , 

milleks on hüperbooli y −0, 5 = − 1 · 1 

kaar punktist (1; 7 ) punktini 

12 x−0,25 18 

(2; 19). 

42 

8.26. Juhusliku vektori (X, Y ) jaotuspind z = f(x, y) on püstkoonuse 

külgpind. Koonuse põhjaks on ring raadiusega R ja keskpunktiga O(0; 0). 

Leiame vektori (X, Y ) jaotustiheduse ja tõenäosuse, et juhuslik punkt 

(x; y) satub ringi D, mille keskpunkt ühtib põhja keskpunktiga ja raadius 

r < R. 

Lahendus. Koonuse külgpind on vektori (X, Y ) jaotuspind. Tähistame 

koonuse kõrguse h. Jaotustiheduse omaduse põhjal peab koonuse ruumala 

võrduma ühega. Saame 

1 

3 πR2 h = 1 ⇒ h = 3 

πR 2 .

57 

z 

✻ 

B 

❆❆ 

❆ 

❆ 

✁ ✁✁✁✁✁✁ 

❆ 

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ 

r z 

❆ 

♣ 

A ′ 

 

O ′ ❆ 

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ❆ 

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ 

♣ ♣ ♣ 

♣ 

 

h 

❆♣ 

♣ 

❆ 

✁ ✁✁✁✁ ♣ 

♣ 

♣ 

D 

❆ 

A 

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ 

♣ ♣ ♣ 

 

♣ ♣ 

❆ 

❅ ❅ 

 

O r R 

❅ ❅❅ ❅❅ ❅ ❅ 

❅ 

r 

 

R 

x✠ 

✲ y 

Olgu ringile D toetuva, koonuse sisse moodustatud silindri kõrgus z. 

Siis sarnastest kolmnurkadest AOB ja A ′ O ′ B saame 

BO ′ 

BO = A′ O ′ 

AO ⇒ h − z 

h 

= r R ⇒ z = h (R − n). 

R 

Asendades r = √ x 2 + y 2 ja tähistades z = f(x, y) saame jaotuspinna 

võrrandi (tihedusfunktsiooni avaldise) lõppkujuks 

f(x, y) = 3 

πR 3 (R − √ x 2 + y 2 ). □ 

Tõenäosus, et juhuslik punkt satub piirkonda D, avaldub 

∫ ∫ 

P ((x; y) ∈ D) = f(x, y)dxdy. 

Antud ülesandes 

∫ ∫ 

3 

P ((x; y) ∈ D) = 

D πR (R − √ x 2 + y 2 )dxdy = 

3 

{ 

x = ρ cos α, ρ ∈ [0, r], 

= [läheme üle polaarkoordinaatidele 

y = ρ sin α, α ∈ [0, 2π] 

D 

ja arvestame, et f(x, y) on nii x kui ka y suhtes paarisfunktsioon] =

58 

Seega 

= 12 ∫ π 

2 

πR 3 

kus r = √ x 2 + y 2 . 

0 

= 3 ∫ π 

πR · 4 2 

3 

dα · 

∫ r 

0 

0 

∫ r 

dα ρ(R − ρ)dρ = 

0 

(Rρ − ρ 2 )dρ = 12 

πR 3 · π 

2 · (Rρ2 2 − ρ3 

3 )r 0 = 

= 6 R 3 (Rr2 2 − r3 

3 ) = r2 

R 3 

(3R − r). 

P ((x; y) ∈ D) = r2 

(3R − 2r), 

R □ 

3 

8.27. Juhusliku vektori (X, Y ) komponendid on normaaljaotusega sõltumatud 

juhuslikud suurused, mille karakteristikud on EX = 3, DX = 25 

ning EY = 1, 7, DY = 9. Kirjutame jaotustiheduse avaldise f(x, y) ja 

hajuvusellipsite võrrandi. 

Lahendus. Teades, et sellisel juhuslikul vektoril on kahemõõtmeline normaaljaotus, 

mille jaotustihedus avaldub 

f(x, y) = 

1 

2πσ x σ y 

exp (− 1 − EX)2 

((x + 

2 σx 

2 

(y − EY )2 

)), 

σy 

2 

saame 

f(x, y) = 

1 

2π · 5 · 3 exp (−1 − 3)2 

((x + 

2 25 

(y − 1, 7)2 

)), 

9 

f(x, y) = 1 

30π exp (−1 − 3)2 (y − 1, 7)2 

((x + )). □ 

2 25 9 

Hajuvusellipsi igas punktis on juhusliku vektori jaotustihedusel sama 

positiivne väärtus k > 0 ehk jaotuspinna nivoojoonte parve võrrand on 

f(x, y) = k, mis eeldab, et 

(x − 3) 2 

+ 

25 

(y − 1, 7)2 

9 

= C 2 , kus C 2 ≥ 0. 

Jagades võrrandi mõlemaid pooli suurusega C 2 saame 

(x − 3) 2 

25C 2 + 

(y − 1, 7)2 

9C 2 = 1, □

mis ongi hajuvusellipsite kanooniline võrrand. 

Märkus. Kui võtta C = 1, siis tõenäosus, et juhuslik punkt (x; y) satub 

ellipsisse (x−3)2 + (y−1,7)2 = 1 on 

25 9 

∫ ∫ 

P ((x, y) ∈ D) = f(x, y)dxdy = 

⎡ 

x = 5ρ cos ϕ, ρ ∈ [0, 1], 

= ⎣ 

y = 3ρ sin ϕ, ϕ ∈ [0, 2π], 

D 

⎤ 

J = 15ρ⎦ = 

59 

= 

∫ 2π 

0 

= 2π · 

∫ 1 

dϕ 

0 

1 

30π 

· 15ρ exp(−ρ2 )dρ = [ρ2 

2 2 = t, ρdρ = dt, t ∈ [0, 1 2 ]] = 

∫ 1 

1 2 

e −t dt = −e −t | 0,5 

0 = −e −0,5 − (−e 0 ) = 1 − √ 1 ≈ 0, 393. 

2π 0 

e 

8.28 Juhusliku suuruse X jaotustihedus 

{ 

0, 5(x + 1), kui x ∈ [−1, 1], 

f 1 (x) = 

0, kui x ∉ [−1, 1]. 

Leiame juhusliku suuruse Y = 1−X 2 jaotustiheduse f 2 (y) ning karakteristikud 

EY ja DY . 

Lahendus. Funktsioon ϕ(x) = 1 − x 2 on paarisfunktsioon ning ei ole 

lõigul [−1, 1] rangelt monotoonne. Poolitades lõigu, saame poollõigul 

[−1, 0] rangelt kasvava ja poollõigul [0, 1] rangelt kahaneva funktsiooni. 

Seosest y = 1 − x 2 ⇒ x = ± √ 1 − y, kus ψ 1 (x) = − √ 1 − y vastab 

poollõigule x ∈ [−1, 0] ja ψ 2 (x) = √ 1 − y poollõigule x ∈ [0, 1]. 

x = − √ 1 − y 

y 

✻ 

1 

x = √ 1 − y 

 

−1 

 

1 

✲ x

60 

Nüüd 

f 2 (y) = f 1 (ψ 1 (y))|ψ ′ 1(y)| + f 1 (ψ 2 (y))|ψ ′ 2(y)|. 

f 2 (y) = 0, 5(− √ 1 − y + 1) · 

1 

2 √ 1 − y + 0, 5(√ 1 

1 − y + 1) · 

2 √ 1 − y = 

= 0, 5(− 1 2 + 1 

2 √ 1 − y + 1 2 + 1 

2 √ 1 − y ) = 1 

2 √ 1 − y , 

f 2 (y) = 

{ 

1 

2 √ , kui y ∈ [0, 1), 

1−y 

0, kui y ∉ [0, 1). 

□ 

Märkus. Otspunkti y = 1 võime arvestamata jätta, sest väärtuse 1 omandamine 

lõpmatust väärtuste hulgast [0, 1] on sündmus, mille tõenäosus 

on praktiliselt 0. Keskväärtuse leiame suurusele Y üle minemata, arvestades, 

et suurustel X ja 1 − X 2 on sama jaotustihedus. Saame 

EY = 

∫ 1 

−1 

= 0, 5(2 

(1 − x 2 )0, 5(x + 1)dx = 0, 5 

∫ 1 

0 

dx − 2 

∫ 1 

0 

∫ 1 

−1 

(1 + x − x 2 − x 3 )dx = 

x 2 dx) = x − x3 

3 |1 0 = 1 − 1 3 = 2 3 . □ 

Märkus. 1. Sama tulemuse saame integraaliga EY = ∫ +∞ 

−∞ yf 2(y)dy. 

EY = ∫ 1 

0 

y dy 

2 √ = ∫ 1 y+1−1 

1−y 0 2 √ dy = ∫ 1 

1−y 0 

dy 

2 √ − ∫ 1 

1−y 0 

1−y 

2 √ 1−y = 

= − √ 1 − y| 1 − 0, 5 ∫ 1 √ 

0 0 1 − ydy = 1 + 

1 · 2(1 

− 2 3 y)2/3 | 1 = 1 − 1 = 2 0 3 3. 

2. Samuti võime keskväärtuse EY leida kasutades arvkarakteristikute 

omadusi. 

EY = E(1−X 2 ) = E1+E(−X 2 ) = 1−EX 2 = 1−0, 5 ∫ 1 

−1 x2 (x+1)dx = 

= 1 − 0, 5 ∫ 1 

−1 x3 dx − 2 · 0, 5 ∫ 1 

0 x2 dx = 1 − 0 − x3 

3 |1 0 = 1 − 1 3 = 2 3. 

Väärtuste EX = 1 3 ja DX = 2 9 

DY = EY 2 − (EY ) 2 . 

õigsus jääb lugeja kontrollida. 

DY = E(1 − X 2 ) 2 − (EY ) 2 = E(1 − 2X 2 + X 4 ) − ( 2 3 )2 =

= E1 − 2EX 2 + EX 4 − 4 9 = 1 − 2 · 1 

3 + ∫ 1 

−1 x4 · 0, 5(x + 1)dx − 4 9 = 

= 1 9 + 0, 5 ∫ 1 

−1 x5 dx + 0, 5 ∫ 1 

−1 x4 dx = 1 9 + 0, 5 · 0 + 2 · 0, 5 ∫ 1 

0 x4 dx = 

61 

= 1 9 + x5 

5 |1 0 = 1 9 + 1 5 = 14 

45 . □ 

8.29. Juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega lõigul [0, 2], Y = 3X − 2 

ja Z = −X 2 + 3X + 1. Leiame suuruste X, Y ja Z keskväärtused, dispersioonid 

ning kovariatsioonimomendi cov(X, Y ), cov(X, Z), cov(Y, Z) 

ja kirjutame korrelatsioonimaatriksi. 

Lahendus. Kui juhuslik suurus X on ühtlase jaotusega lõigul [a, b], siis 

EX = a+b ja DX = (b−a)2 . Siit ülesande tingimustel (a = 0, b = 2)EX = 

2 12 

= 1 ja DX = 1. 

3 

Kõik teised karakteristikud leiame karakteristikute omadustele tuginedes. 

Selleks leiame eelnevalt juhusliku suuruse X algmomendid neljanda 

järguni. 

EX 2 = DX + (EX) 2 = 1 3 + 1 = 4 3 , 

EX 3 = ∫ 2 

EX 4 = ∫ 2 

0 x3 · 1 

2 

0 x4 · 1 

2 

x4 

dx = 

8 |2 = 2, sest f(x) = 1 , kui x ∈ [0, 2], 

0 2 

dx = 

x5 

10 |2 0 = 16 5 . 

Keskväärtuse omadusi rakendades 

EY = E(3X − 2) = E(3X) + E(−2) = 3EX − 2 = 3 − 2 = 1, 

EZ = E(−X 2 + 3X + 1) = −EX 2 + 3EX + 1 = − 4 3 + 3 · 1 + 1 = 8 3 . 

Dispersiooni ja keskväärtuse omadusi rakendades 

DY = D(3x − 2) = 3 2 DX + D(−2) = 9 · 1 + 0 = 3, sest 3X ja −2 on 

3 

sõltumatud,

62 

DZ = D(−X 2 + 3X + 1) = 

= D(−X 2 ) + D(3X) + D1 + 2 · (−1) · 3cov(X 2 , X) + 0 + 0 = 

= (−1) 2 DX 2 + 3 2 DX + 0 − 6cov(X 2 , X) = 

= DX 2 + 9DX − 6(E(X 2 · X) − EX 2 · EX) = 

= E(X 2 ) 2 − (EX 2 ) 2 + 9 · 1 

3 − 6(EX3 − 4 3 · 1) = 

= EX 4 − 16 9 + 3 − 6(2 − 4 3 ) = 16 

5 − 16 

9 + 3 − 4 = 16 · 4 

45 − 1 = 19 

45 . 

Korrelatsioonimaatriksi elementide saamiseks arvutame kovariatsioonid 

cov(X, Y ) = cov(Y, X), cov(X, Z) = cov(Z, X) ja cov(Y, Z) = cov(Z, Y ). 

cov(X, Y ) = E(XY ) − EXEY = E(3X 2 − 2X) − 1 · 1 = 

= 3EX 2 − 2EX − 1 = 4 − 2 − 1 = 1, 

cov(X, Z) = E(XZ) − EXEZ = E(−X 3 + 3X 2 + X) − 1 · 8 

3 = 

= −EX 3 + 3EX 2 + EX − 8 3 = −2 + 4 + 1 − 8 3 = 1 3 , 

cov(Y, Z) = E(Y Z) − EY EZ = E(−3X 3 + 11X 2 − 3X − 2) − 1 · 8 

3 = 

= −3EX 3 + 11EX 2 − 3EX − 2 − 8 3 

= −6 + 

44 

3 − 3 − 14 

3 = 1. 

Järgmisena arvutame korrelatsioonikordajad 

r(X, Y ) = r(Y, X) = cov(X,Y ) 

σ X σ Y 

= 1 

1 

r(X, Z) = r(Z, X) = cov(X,Z) 

σ X σ Z 

= 

√ 

3 ·√3 = 1, 

1 

3 

√ 

1 19 

3 ·√ 45 

r(Y, Z) = r(Z, Y ) = cov(Y,Z) 

σ Y σ Z 

= 

1 

√ 

3·√ 

19 

45 

= 

√ 

15 

19 

√ 

15 

19 

= 

≈ 0, 89, 

≈ 0, 89. 

Arvestades kovariatsiooni- ja korrelatsioonimaatriksi sümmeetrilisust peadiagonaali 

suhtes, jätame peadiagonaalist allpool asetsevad elemendid 

kirjutamata. Kovariatsioonimaatriksi peadiagonaali elementideks on 

juhuslike suuruste X, Y, ja Z dispersioonid, korrelatsioonimaatriksis aga 

ühed (juhusliku suuruse korrelatsioon iseendaga, näiteks r(X, X) =

63 

= cov(X,X) 

σ X σ X 

= DX 

σ 2 X 

= DX 

DX = 1). 

Kovariatsioonimaatriks K ja korrelatsioonimaatriks R on 

⎛ 

K = ⎝ 

1 1 

1 

3 3 

3 1 

19 

45 

⎞ 

⎠ , 

⎛ 

1 1 

⎞ 

0, 89 

R = ⎝ 1 0, 89⎠ . 

1 

Märkus. Tulemus r(X, Y ) = 1 kinnitab tõsiasja, et juhuslike suuruste X 

ja Y vahel on lineaarne sõltuvus. Tõepoolest Y = 3X − 2. Suuruste X 

ja Z ning Y ja Z (kuna X = 1 3 (Y + 2) ⇒ Z = 1 9 (23 + 5y − y2 )) vahel on 

ruutsõltuvus. Kõik kolm suurust on omavahel paarikaupa korreleeruvad. 

8.30. Antud on juhuslik funktsioon X(t) = t 3 U + a, kus U on juhuslik 

suurus ja a on kindel suurus. Suuruse U jaotustihedus on 

f(u) = 

{ 

u 

, kui u ∈ [0, 2], 

2 

0, kui u ∉ [0, 2]. 

Leiame ühemõõtmelise jaotustiheduse f 1 (x; t) ja jaotusfunktsiooni 

F 1 (x; t) ning EX(t), DX(t), K x (t 1 , t 2 ) ja R x (t 1 , t 2 ). 

Lahendus. X(t) ühemõõtmelise jaotustiheduse leiame juhusliku suuruse 

U jaotustiheduse f(u) kaudu analoogiliselt näidisülesandele 8.28. 

Kuna funktsioon x = t 3 u + a on rangelt monotoonne lõigul [0, 2], 

siis avaldame u = x−a , kus x ∈ [a, 2t 3 + a]. Leiame üleminekukordaja 

t 3 

| du| 

= 1 , siis f(u) = | du| 

= x−a · 1 ja 

dx t 3 dx 2t 3 t 3 

f 1 (x; t) = 

{ 

x−a 

2t 6 , kui x ∈ [a, 2t 3 + a], 

0, kui x ∉ [a, 2t 3 + a]. 

□ 

Ühemõõtmelise jaotusfunktsiooni F 1 (x; t) leidmiseks integreerime tihedusfunktsiooni 

f 1 (x; t) arvestades, et x ∈ [a, 2t 3 + a]. 

F 1 (x; t) = ∫ x 

f −∞ 1(v; t)dv = ∫ x v−adv = 

a 2t 6

64 

= 

[ ] 

v − a = h | v = a, h = 0 

= 

dv = dh | v = x, h = x − a 

Seega 

= ∫ x−a 

0 

h dh 

2t 6 

= h2 

4t 6 | x-a 

0 = (x−a)2 

4t 6 . 

⎧ 

⎪⎨ 0, kui x ≤ a, 

(x−a) 

F 1 (x; t) = 

2 

, kui a < x ≤ 2t 

4t ⎪⎩ 

3 + a, 

6 

1, kui x > 2t 3 + a. 

Keskväärtuse EX(t) võime leida mitmel erineval moel. 

a) Kasutame keskväärtuse definitsiooni, juhusliku suuruse U jaotustihedust 

ning tõsiasja, et juhuslikul suurusel t 3 U + a on sama jaotustihedus. 

□ 

EX(t) = 

∫ +∞ 

−∞ 

= 4 3 t3 + a. □ 

x(u)f(u)du = 

∫ 2 

0 

(t 3 u + a) u 2 du = (t3 2 · u3 

3 + a 2 · u2 

2 )2 0 = 

b)Kasutame keskväärtuse definitsiooni, minnes üle suuruselt U suurusele 

X. 

EX(t) = 

∫ +∞ 

−∞ 

xf 1 (x; t)dx = 

∫ 2t 3 +a 

a 

x · x − a 

2t 6 dx = 

= 1 

2t 6 (x3 3 − ax2 + a 

2 )2t3 = ... = 1 

a 2t · 1 

6 3 (8t9 + 6t 6 a) = 4 3 t3 + a. 

c)Kasutame tehteid juhuslike funktsioonidega. 

EX(t) = E(t 3 U + a) = t 3 EU + a = [EU = 

= 

∫ 2 

0 

u 2 

2 du = 4 3 ] = 4 3 t3 + a. 

∫ +∞ 

−∞ 

uf(u)du = 

Dispersiooni DX(t) võime samuti leida mitmel erineval moel. Kasutame 

kolmandat (c) moodust. 

DX(t) = D(t 3 U + a) = D(t 3 U) + Da = (t 3 ) 2 DU + 0 = t 6 DU = 

= [liidetavad t 3 U ning a on sõltumatud, DU = EU 2 − (EU) 2 =

65 

= ∫ 2 

0 

u 3 

2 du − 16 9 = u4 

8 |2 0 − 16 9 = 16 8 − 16 

9 = 2 9 ] = 2 9 t6 . □ 

Kuna DX(t) = K x (t, t), siis K x (t 1 , t 2 ) = 2 9 t3 1t 3 2, sest K x (t, t) = 2 9 t3 t 3 = 

= 2 9 t6 = DX. 

Sama tulemuse saaksime kovariatsioonifunktsiooni definitsioonist. 

K x (t 1 , t 2 ) = E(X(t 1 ) − EX(t 1 ))(X(t 2 ) − EX(t 2 ) = 

= E(X(t 1 )X(t 2 )) − EX(t 1 )EX(t 2 ) = 

= E((t 3 1U + a)(t 3 2U + a)) − ( 4 3 t3 1 + a)( 4 3 t3 2 + a) = 

= t 3 1t 3 2EU 2 + at 3 1EU + at 3 2EU + a 2 − 

− ( 16 

9 t3 1t 3 2 + 4 3 at3 1 + 4 3 at3 2 + a 2 ) = 

= [EU 2 = 2, EU = 4 3 ] = ... = 2 9 t3 1t 3 2. □ 

Korrelatsioonifunktsiooni R x (t 1 , t 2 ) definitsioonist 

R x (t 1 , t 2 ) = 

eeldusel, et t 1 , t 2 > 0. 

2 

K x (t 1 , t 2 ) 

√ 

DX(t1 )DX(t 2 ) = √ 

1t 3 9t3 2 

2 

9 t6 1 · 2 

9 t6 2· 

= 1, □ 

8.31. Juhuslik funktsioon X(t) = Y sin ωt, kus ω on kindel suurus, 

EY = a ja DY = σ 2 . Leiame EX(t), K x (t 1 , t 2 ), DX(t), σ x (t) ning 

R x (t 1 , t 2 ). 

Lahendus. Kasutades karakteristikute omadusi, saame 

EX(t) = E(Y sin ωt) = sin ωt · EY = a sin ωt; 

K x (t 1 , t 2 ) = sin ωt 1 sin ωt 2 DY = σ 2 sin ωt 1 sin ωt 2 ; 

DX(t) = K x (t, t) = σ 2 sin ωt sin ωt = σ 2 sin 2 ωt; 

σ x (t) = √ √ 

DX(t) = σ 2 sin 2 ωt = σ sin ωt; 

R x (t 1 , t 2 ) = K x(t 1 , t 2 ) 

σ x (t 1 )σ x (t 2 ) = σ2 sin ωt 1 sin ωt 2 

σ sin ωt 1 · σ sin ωt 2 

= 1. □ 

□ 

□ 

□ 

□

66 

8.32. On teada juhusliku funktsiooni X(t) karakteristikud EX(t) = t 2 

ja K x (t 1 , t 2 ) = cos ωt 1 cos ωt 2 . Leiame juhusliku funktsiooni Y (t) = 

X(t) + t karakteristikud. 

= 1 t 

d 

dt 

Lahendus. Leiame EY (t), K y (t 1 , t 2 ) ja DY (t). 

EY (t) = E( 1 t 

= 1 t E( d dt X(t)) + t = 1 t 

d 

dt X(t) + t) = E 1 d 

X(t) + Et = 

t dt 

d 

dt EX(t) + t = 1 dt 2 

t dt + t = 1 t 

· 2t + t = 2 + t. □ 

K y (t 1 , t 2 ) = 1 t 1 

· 1 

t 2 δ 2 

δt 1 δt 2 

K x (t 1 , t 2 ) = 1 

t 1 t 2 

δ 2 cos ωt 1 cos ωt 2 

δt 1 δt 2 

= 

= 1 

t 1 t 2 

δ 

δt 1 

( δ cos ωt 1 cos ωt 2 

δt 2 

) = 1 

t 1 t 2 

δ 

δt 1 

(cos ωt 1 

δ cos ωt 2 

δt 2 

) = 

= 1 δ 

(cos ωt 1 (− sin ωt 2 )ω) = − ω sin ωt 2 

· δ cos ωt 1 

= 

t 1 t 2 δt 1 t 1 t 2 δt 1 

= − ω sin ωt 2 

(− sin ωt 1 · ω) = ω2 sin ωt 1 sin ωt 2 

. □ 

t 1 t 2 t 1 t 2 

DY (t) = K y (t, t) = ω2 sin 2 ωt 

. □ 

t 2 

8.33. Juhusliku funktsiooni X(t) karakteristikud on EX(t) = cos t ja 

K x (t 1 , t 2 ) = e t 2−t 1 

. Leiame juhusliku funktsiooni Y (t) = t ∫ t 

X(τ)dτ + t2 

0 

karakteristikud. 

Lahendus. Karakteristikute leidmine erineb eelnevas ülesandes tehtust 

ainult matemaatiliste operatsioonide poolest. 

EY (t) = E(t ∫ t 

0 X(τ)dτ + t2 ) = t ∫ t 

0 EX(τ)dτ + t2 = t ∫ t 

0 cos τdτ + t2 = 

= t sin τ| t 0 + t2 = t sin t + t 2 = t(sin t + t); □

67 

K y (t 1 , t 2 ) = t 1 t 2 

∫ t1 

0 

∫ t2 

K ∫ t1 

∫ t2 

0 x(τ 1 , τ 2 )dτ 1 dτ 2 = t 1 t 2 0 0 eτ 1−τ 2 

dτ 1 dτ 2 = 

= [kuna integreerimisrajad on konstantsed ja integrand e τ 2−τ 1 

dτ 1 dτ 2 = 

= e −τ 1 

dτ 1 · e τ 2 

dτ 2 , võime kahekordse integraali asendada kahe määratud 

integraali korrutisega] = t 1 t 2 

∫ t1 

0 e−τ 1 

dτ 1·∫ t 2 

0 eτ 2 

dτ 2 = t 1 t 2 (−e −τ 1 

) t 1 

0·eτ 2 

| t 2 

0 = 

= t 1 t 2 (−e −t 1 

+ 1)(e t 2 

− 1) = t 1 t 2 (1 − e −t 1 

)(e t 2 

− 1). □ 

DY (t) = K y (t, t) = t 2 (1 − e −t )(e t − 1) = t 2 (e t − 1 − 1 + e −t ) = 

= t 2 (e t + e −t − 2). □ 

8.34. Juhusliku funktsiooni X(t) kanooniline arendus on X(t) = 1+ 

+X 1 t+ X 2 

t 

+X 3 cos 2t+X 4 sin 2t, kusjuures DX 1 = 1, DX 2 = 2, DX 3 = 

= DX 4 = 4. Leiame EX(t), K x (t 1 , t 2 ) ja DX(t). Kas juhuslik funktsioon 

X(t) on statsionaarne? 

Lahendus. Kuna antud on kanooniline arendus, siis juhuslikud suurused 

X 1 , X 2 , X 3 ja X 4 on mittekorreleeruvad ning EX 1 = EX 2 = EX 3 = 

= EX 4 = 0. 

EX(t) = E(1 + X 1 t + X 2 

t 

+ X 3 cos 2t + X 4 sin 2t) = 

= E1 + tEX 1 + 1 t EX 2 + cos 2tEX 3 + sin 2tEX 4 = 1. □ 

Kuna juhuslik funktsioon on antud kanoonilise arendusena, siis kõik 

cov(X i , X j ) = 0, kui i ≠ j ning cov(X i , X j ) = DX i , kus i = 1, 2, 3, 4. 

Seega 

4∑ 

K x (t 1 , t 2 ) = ϕ i (t 1 )ϕ i (t 2 )DX i . 

i=1 

Antud ülesandes ϕ 1 (t) = t, ϕ 2 (t) = 1 t , ϕ 3(t) = cos 2t ja ϕ 4 (t) = sin 2t. 

K x (t 1 , t 2 ) = t 1 t 2 DX 1 + 1 

t 1 t 2 

DX 2 +cos 2t 1 cos 2t 2 DX 3 +sin 2t 1 sin 2t 2 DX 4 = 

= t 1 t 2 + 2 

t 1 t 2 

+ 4(cos 2t 1 cos 2t 2 + sin 2t 1 sin 2t 2 ) =

68 

= t 1 t 2 + 2 

t 1 t 2 

+ 4 cos 2(t 1 − t 2 ). □ 

DX(t) = K x (t, t) = t 2 + 2 t 2 + 4 cos 0 = t2 + 2 t 2 + 4. □ 

Kontrollime, kas juhuslik funktsioon X(t) on statsionaarne. Keskväärtus 

EX(t) on konstantselt 1, kuid kovariatsioonifunktsioon K x (t 1 , t 2 ) sõltub 

lisaks vahele t 2 − t 1 (cos 2(t 1 − t 2 ) = cos 2(t 2 − t 1 ) kui paarisfunktsioon) 

veel liidetavatest t 1 t 2 ning 2 

t 1 t 2 

. Seega juhuslik funktsioon X(t) ei ole 

statsionaarne. 

8.35. Suuruste X ja Y kümne sõltumatu mõõtmise väärtuspaarid on 

mõõtmiste järjekorras tabelina 

x k 3, 4 2, 2 4, 6 1, 8 3, 0 5, 5 1, 3 5, 2 6, 1 3, 9 

y k 8, 7 9, 8 8, 5 8, 9 9, 3 8, 8 9, 4 9, 1 8, 3 9, 6. 

Leiame arvkarakteristikute EX, EY, DX, DY, σ x , σ y , cov(X, Y ), r xy 

empiirilised väärtused, EX, EY, 

DX, DY nihutamata hinnangud, EX, EY, DX, DY usaldusvahemikud 

usaldusnivool α = 0, 95 ning regressioonisirge y = b 0 + b 1 x võrrandi. 

Lahendus. Tegemist on väikese valimiga, sest selle maht n = 10. Kuna 

selle näiteülesande lahendamisel me ei kasuta standardprogramme, siis 

leiame kõigepealt järgnevates arvutustes vajalikud summad. 

∑10 

k=1 

x k = 37, 0; 

∑10 

k=1 

y k = 90, 4; 

∑10 

k=1 

x 2 k = 161, 2; 

∑10 

k=1 

y 2 k = 819, 34; 

10∑ 

k=1 

x k y k = 330, 17. 

1 o Leiame empiirilised keskväärtused E ∗ X = ¯x ja E ∗ Y = ȳ, mis on 

ühtlasi keskväärtuste nihutamata hinnangud. 

¯x = 1 

10 

∑10 

k=1 

x k = 3, 70; ȳ = 1 

10 

∑10 

k=1 

y k = 9, 04. □

Punkt koordinaatidega (3, 70; 9, 04) on hajuvuskese, mille ümbrusesse 

satuvad katsetulemustega määratud punktid kõige sagedamini. 

2 o Leiame empiirilised dispersioonid D ∗ X = x 2 − (x) 2 ja D ∗ y = y 2 − (y) 2 

ning dispersioonide nihutamata hinnangud 

Sx 2 = 

n 

n − 1 D∗ X ja Sy 2 = 

n 

n − 1 D∗ Y 

Samuti leiame standardhälvete vastavad hinnangud. 

D ∗ X = x 2 − (x) 2 = 16, 12 − 13, 69 = 2, 43, siit σ ∗ x = √ D ∗ X ≈ 1, 559, 

S 2 x = 10 

9 · 2, 43 = 2, 7; S x = 1, 643; □ 

D ∗ Y = y 2 − (y) 2 = 81, 934 − 81, 7216 = 0, 2124, siit σ ∗ y ≈ 0, 4609, 

S 2 y = 10 

9 · 0, 2124 = 0, 236; S y ≈ 0, 4858 □ 

3 o Nüüd saame leida keskväärtuste ja dispersioonide usaldusvahemikud 

etteantud usaldusnivool. Võtame usaldusnivooks α = 0, 95, mis tähendab, 

et leiame kahepoolsed usalduspiirid ehk 0,025 -kvantiilid ja 0,975 kvantiilid. 

Keskväärtuse sümmeetrilised usalduspiirid määrame Studenti jaotuse 

kaudu. 

P (¯x − ε α < EX < ¯x + ε α ) = α, 

kus 

ε α = t( 1 + α 

√ 

S 

2 

, n − 1) x 

2 

n . 

Käesolevas ülesandes valisime α = 0, 95, seega 1+α = 0, 975. Kuna 

2 

n − 1 = 9, siis t - jaotuse tabelist t(0, 975; 9) = 2, 262 ning suuruse 

X korral 

√ 

2, 7 

ε 0,95 = 2, 262 ≈ 1, 175. 

10 

Järelikult mõõtmistulemuste põhjal saime usaldusvahemiku 

EX ∈ (3, 7 − 1, 18; 3, 7 + 1, 18) 

ehk EX ∈ (2, 52; 4, 88) tõenäosusega 0, 95. □ 

Analoogiliselt leiame EY usaldusvahemiku. 

ε α = t( 1 + α 

√ √ 

S 

2 

y 

0, 236 

, n − 1) 

2 

n = 2, 262 10 

≈ 0, 347. 

69

70 

Järelikult 

EY ∈ (9, 04 − 0, 35; 9, 04 + 0, 35) 

ehk EY ∈ (8, 69; 9, 39) tõenäosusega 0, 95. □ 

Dispersioonide 0,025 - ja 0,975 - kvantiilid määrame χ 2 - jaotuse kaudu. 

(n − 1)S 2 x 

χ 2 0,975; n−1 

< DX < (n − 1)S2 x 

, 

χ 2 0,025; n−1 

9 · 2, 7 

19, 023 

< DX < 

9 · 2, 7 

2, 7 

⇒ DX ∈ (1, 28; 9, 00). □ 

9 · 0, 236 

19, 023 

(n − 1)S 2 y 

χ 2 0,975; n−1 

< DY < 

9 · 0, 236 

2, 7 

< DY < (n − 1)S2 y 

, 

χ 2 0,025; n−1 

⇒ DY ∈ (0, 11; 0, 79). □ 

4 o Selgitame suuruste X ja Y omavahelise seose olemasolu, iseloomu ja 

tugevuse. Selleks arvutame juhuslike suuruste X ja Y kovariatsiooni 

cov(X, Y ) ning korrelatsioonikordaja hinnangud. 

cov ∗ (X, Y ) = xy − ¯x · ȳ = 33, 017 − 33, 448 = −0, 431. □ 

cov ∗ (X, Y ) ≠ 0, seega on suuruste vahel korrelatiivne seos. Tulemus 

cov ∗ (X, Y ) < 0 ütleb, et suuruste X ning Y muutumistendentsid on 

vastupidised: ühe suuruse kasvades teine suurus kahaneb. 

Arvutame lineaarse korrelatsioonikordaja hinnangu 

r ∗ xy = cov∗ (X, Y ) 

σ ∗ x · σ ∗ y 

0, 431 

= − 

1, 5588 · 0, 4609 

≈ −0, 5999 ≈ −0, 60. □ 

Tulemus täpsustab eelnevat. Suuruste X ja Y vahel on keskmise tugevusega 

negatiivne korrelatiivne seos suuruste muutumise vastupidise tendentsiga. 

5 o Leiame lineaarse regressioonimudeli y = b 0 + b 1 x. Regressioonisirge 

tõus (regressioonikordaja) 

b 1 = n ∑ x i y i − ∑ x i y i 

n ∑ 10 · 330, 17 − 37 · 90, 4 

x 2 i − (∑ = ≈ −0, 177. 

x i ) 

2 

10 · 161, 2 − 37 2

Vabaliikme b 0 määrame tingimusest, et regressioonisirge läbib hajuvuskeset 

ȳ = b 0 + b 1¯x ⇒ b 0 = ȳ − b 1¯x = 9, 04 + 0, 177 · 3, 7 ≈ 9, 695. 

Seega on suuruste X ja Y vahelist seost kirjeldav parim lineaarne mudel 

- regressioonisirge võrrand 

y = 9, 695 − 0, 177x. 

Hinnangu saadud lineaarse mudeli sobivusele annab determinatsioonikordaja 

d = r 2 · 100% = 0, 3599 · 100% ≈ 36%. Tulemus ütleb, et lineaarse 

mudeli prognoosiv võime antud korrelatiivse seose korral on keskmiselt 

36% õigeid tulemusi, kui anname suurusele X meid huvitavaid väärtusi 

ja arvutame regressioonisirge võrrandist vastavad suuruse Y väärtused. 

Kas see tulemus rahuldab, sõltub uuritavast probleemist ja uurija poolt 

püstitatud nõuetest. 

6 o Esitame lähteandmed ja viimase tulemuse graafiliselt korrelatsiooniväljana 

koos selle punkte siduva regressioonisirgega. 

71 

y 

✻ 

10 

9 y 

8 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 9, 695 − 0, 177x 

7 

 

2 x 4 6 8 

✲ x 

8.36. Kahe samaotstarbelise erinevat tüüpi seadme võrdlemiseks parameetri 

X alusel tehti mõlema seadme parameetri X kümme sõltumatut 

mõõtmist. Mõõtmistulemused on 

X 1 : 63, 81, 57, 66, 82, 68, 59, 75, 82, 73; 

X 2 : 64, 72, 83, 59, 65, 82, 63, 56, 74, 82.

72 

Kontrollime hüpoteese dispersioonide DX 1 , DX 2 ja keskväärtuste EX 1 , 

EX 2 võrdsusest. 

Lahendus. Valime usaldusnivooks α = 0, 99. Kontrollime hüpoteesi H 0 : 

DX 1 = DX 2 . Selle kehtimisel võime eeldada, et mõlema seadme korral 

oli mõõtmistäpsus sama. Eeldusel DX 1 = DX 2 on suurusel S1/S 2 2 2 või 

S2/S 2 1 2 Fisheri jaotus (F-jaotus) vabadusastmete arvudega n 1 − 1, n 2 − 1 

või n 2 − 1, n 1 − 1. 

Arvutame S1 2 = 10(5064, 

2 − 4984, 36) = 88, 71, 9 S2 2 = 10 (4990, 4− 

9 

−4900, 0) = 100, 44. 

Valides dispersioonide nihutamata hinnangute suhte nii, et statistiku F 

empiiriline väärtus F e > 1, piisab nullhüpoteesi kontrollimiseks ühepoolse 

tingimuse F e < F kr või F e > F kr määramisest. Statistiku F kriitilise 

väärtuse F kr ( 1+α; 

n 2 1 − 1, n 2 − 1) või F kr ( 1+α; 

n 2 2 − 1, n 1 − 1) leiame 

Fisheri jaotuse tabelist: F kr (0, 995; 9, 9) = 6, 54. Kuna antud ülesandes 

S 2 2 > S 2 1, siis 

F e = S2 2 

S 2 1 

= 

100, 44 

88, 71 

≈ 1, 132. 

Seega F e < F kr ja ei ole põhjust nullhüpoteesi tagasi lükata. Tõenäosusega 

0,99 võib eeldada, et dispersioonid DX 1 ja DX 2 on võrdsed ning 

mõõtmistäpsus ei tohiks põhjustada keskmiste erinevust. 

Kontrollime hüpoteesi keskväärtuste EX 1 ja EX 2 võrdsusest. Püstitame 

nullhüpoteesi H 0 : EX 1 = EX 2 . Hüpoteesi kehtivuse kontrollimiseks 

kasutame Studenti jaotusega statistikut 

t e = 

√ 

|¯x 1 − ¯x 2 | 

, 

( 1 n 1 

+ 1 n 2 

) (n 1−1)S1 2+(n 2−1)S2 

2 

n 1 +n 2 −2 

kus eeldus EX 1 = EX 2 on asendatud samaväärse eeldusega EX 1 − 

−EX 2 = 0. 

Arvutame lähteandmete põhjal empiirilise väärtuse 

t e = 

70, 6 − 70, 0 

√ 

( 1 + 1 ) 9·88,71+9·100,44 

10 10 10+10−2 

≈ 0, 6 √ 18, 915 

≈ 0, 138. 

Studenti jaotuse tabelist t kr (0, 995; 18) = 2, 878. Kuna empiiriline väärtus 

t e < t kr , ei ole põhjust hüpoteesi H 0 tagasi lükata ehk tõenäosusega 

0,99 võib lugeda keskväärtused EX 1 ja EX 2 võrdseks. Seega võrreldud 

seadmed on parameetri X järgi samaväärsed.

73 

9. Teadmiste kontroll ja hindamine 

Käesolev kursus lõpeb eksamiga. Eksamil kontrollitakse nii teadmisi 

teooriast kui ka ülesannete lahendamise oskust. Alajaotuses 6 nimetatud 

teoreeme, valemeid ja omadusi tuleb osata tõestada või tuletada. Alajaotuses 

7 on toodud ülesannete tüübid, mida üliõpilane peab oskama 

lahendada. Semestri jooksul tehakse kontrolltöid õppejõu juuresolekul 

TTÜ ruumes. 

Õppeaines YMR0070 on kolm kontrolltööd ning õppeainetes 

YMR0110 ja YMR3720 kaks kontrolltööd. Kõik üliõpilased lahendavad 

statistika arvutus-graafilise töö, mis vastab näidisülesandele 8.35. Kontrolltööde 

alusel võib üliõpilane saada jooksvalt eksamihinde. 

Kontrolltööde materjal on: 

• 1. kontrolltöö: 

- teooria: programmis esitatud teemad 6.1.-6.5. 

- ülesanded: tüüpülesanded 

• 2. kontrolltöö: 



• 3. kontrolltöö*: 



Igat kontrolltööd hinnatakse 100 punkti süsteemis. Eksamihinde saamiseks 

peab olema esitatud ja arvestatud statistika arvutus-graafiline 

töö. 

Eksamihinne h määratakse kontrolltööde hinnete aritmeetilise keskmise 

k alusel järgnevalt: 

• kui k ≥ 91, siis h = 5 

• kui 81 ≤ k ≤ 90, siis h = 4

74 

• kui 71 ≤ k ≤ 80, siis h = 3 

• kui 61 ≤ k ≤ 70, siis h = 2 

• kui 51 ≤ k ≤ 60, siis h = 1 

• kui k ≤ 50, siis h = 0 

Kui üliõpilane eelistab kontrolltööde asemel oma teadmisi näidata eksamil, 

siis eksamil tuleb sooritada ülalkirjeldatud kolme (YMR0070) või 

kahe, siis 1. ja 2., (YMR0110, YMR3720) kontrolltöö baasil koostatud 

ühine kontrolltöö, mida hinnatakse samuti 100 punkti süsteemis. Eksamihinne 

h määratakse sellisel juhul saadud kontrolltööhinde k järgi 

ülaltoodud tingimustel. 

Eksami-, kontrolltööde ja konsultatsioonide ajad teatatakse õppetöö 

korraldamise graafikuga jooksval semestril. 

Juhendi koostaja: 

Ahto Lõhmus 

TTÜ matemaatikainstituudi rakendusmatemaatika 

erakorraline dotsent

YMR0070, YMR3720 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?